Лекция 1. Понятие о моделировании систем, классификации подходов и методов моделирования

Характеризуются понятия "модель", "моделирование", "проблема принятия решений". Для того чтобы пояснить причины, вызвавшие необходимость возникновения различных методов моделирования систем, сферы их применения и принципы выбора для моделирования конкретных систем и процессов, в данной главе приводятся сведения о причинах возникновения теории систем и других междисциплинарных направлений, обосновывается необходимость разработки и применения различных методов моделирования. Приводится обзор подходов к моделированию систем, классификаций методов моделирования систем и процессов. Предлагается классификация моделей.

Понятие о модели и моделировании

Термин "моделирование" первоначально был введен для исследования проблем, которые не удавалось сразу решить теоретическим или экспериментальным методом:

"Моделирование" — исследование физических процессов на моделях. В простейшем случае модель воспроизводит изучаемое явление (оригинал) с сохранением его физической природы и геометрического подобия, а отличается от оригинала лишь тем (размерами, скоростью течения исследуемых явлений и иногда материалом), что приводит к изменению... параметров".

Для реализации идеи моделирования развивалась "теория подобия, изучающая условия подобия физических явлений... опирается на учение о размерности физических величин". При этом вводили ряд видов подобия: геометрическое (подобие геометрических фигур), механическое (характеризующее однотипные механические системы или явления, такие как потоки жидкости или газа, упругие системы и т.п.), тепловое (для тепловых процессов при одинаковости температурных полей и тепловых потоков), матричное (подобие матриц при задании их матрицами линейного преобразования). В последующем были введены термины физического (обобщающего механическое, тепловое и т.п. виды подобия) и его разновидностей — кинематического и динамического; химического, физико-химического и математического подобия.

Основой теории подобия является установление подобия критериев различных физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений. Сходства в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значений переменных величин, параметров (которые при некотором принципиальном сходстве устанавливаются для различных видов подобия с учетом их специфики), характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответствующим величинам (параметрам) другой системы. Коэффициент пропорциональности для каждой из величин называется коэффициентом подобия.

Более строго основные положения теории подобия изложены в приложении 1.

Принципы теории подобия полезно использовать в качестве основы теории моделирования и в настоящее время. При этом способы установления сходства параметров изучаемых явлений и процессов при использовании различных методов моделирования различны.

Например, при применении теоретико-множественных представлений вводятся понятия изоморфизма и гомоморфизма, при использовании логико-лингвистических представлений — сходство предикатов и т.п.

С учетом сказанного полезно рассмотреть развитие определений модели и моделирования.

Наиболее лаконичное определение дает С. Лем:

"Моделирование — это подражание Природе, учитывающее немногие ее свойства".

При этом поясняет: "Почему только немногие? Из-за нашего неумения? Нет. Прежде всего потому, что мы должны защититься от избытка информации", добавляя, что возможна и недоступность информации, и поясняя на примерах, что "практика моделирования предполагает учет некоторых переменных и отказ от других" с учетом назначения модели.

Более строго моделирование можно определить как замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью), фиксацию и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала. При этом замещение правомерно, если интересующие исследователя характеристики оригинала и модели определяются однотипными подмножествами параметров s0, имеющих определенные свойства, количественной мерой которых служит множество характеристик у0, и связаны определенными зависимостями с этими параметрами.

Термин "модель" используется в разных смыслах: экземпляр, вариант какого-либо изделия; макет, повторяющий какие-то особенности определенного объекта; наглядные (уменьшенные, увеличенные или в натуральную величину) копии разных объектов — конструкций машин, зданий, сооружений, кристаллов, атомов и молекул и т.п.; модели одежды, фотомодели (девушки и юноши), т.е. то, что служит образцом для художественного воспроизведения, примером для подражания или сравнения и т.д.

В справочнике но кибернетике модель определяется как "один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования (или управления)", и поясняется, что "модель конструируется субъектом исследования ("наблюдателем" по Эшби) так, чтобы отобразить характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры и т.п.), существенные для цели исследования. Поэтому вопрос о качестве такого отображения — адекватность модели объекту — правомерно решать лишь относительно определенной цели". При этом подчеркивается, что наиболее строгое и общее определение модели должно опираться на понятия гомоморфизма и изоморфизма. Применительно к системным исследованиям Ф. И. Перегудов и Ф. П. Тарасенко кратко определили модель как форму существования знаний, а моделирование — как "неотъемлемый этап всякой целенаправленной деятельности" [13].

Позднее Ф. П. Тарасенко развивает тезис о том, что "модель — неотъемлемая часть любой деятельности", и, исследуя феномен моделирования, определяет понятие модели вначале через описание смысла построения и применения моделей.

"Модель есть определенное (системное) отображение некоторого явления (объекта, события, процесса) в форме, воспринимаемой субъектом и пригодной для использования содержащейся в ней информации в процессе активного взаимодействия субъекта с системой, содержащей данное явление" [16, с. 9].

Затем — представляет модель как "упрощенное целевое отображение оригинала", как "материальный носитель информации"; исследует роль моделирования в деятельности человека, в процессе которого необходимо дать описание всех существенных отношений между компонентами моделирования — моделью, моделируемой сущностью (абстрактной или реальной), моделирующим субъектом, инфраструктурой моделирования, и предлагает еще одно определение модели (вербальную модель):

"Модель есть отображение оригинала: целевое (т.е. предназначаемое для обеспечения достижения субъектом определенной цели): абстрактное (мысленное) или реальное (вещественное); упрощенное (огрубленное, приблизительное); имеющее как истинное, так и ложное ОГЛАВЛЕНИЕ; значимое лишь в контексте культуры субъекта (ингерентное культуре); имеющее определенную степень адекватности (потенциал успешности достижения цели при использовании данной модели)" [16, с. 12].

В такой интерпретации модель является "носителем информации об оригинале", элементом процесса моделирования, в котором кроме самой модели (носителя информации) существенными частями являются: оригинал (моделируемое явление, источник информации), субъект, которому потребовалась информация об оригинале для достижения своей цели, и инфраструктура, обеспечивающая моделирование.

Ю. А. Шрейдер, рассматривая моделирование как выявление взаимоотношений между исследователем, моделью и оригиналом, предлагает в качестве средства отображения этих взаимоотношений язык, основанный на теоретико-множественных и лингвистических представлениях, который позволяет исследовать гносеологические аспекты отношения "модель — объект", семантику и смысл информации об объекте, содержащейся в модели, целевые и ценностные категории процесса моделирования.

С учетом приведенного краткого анализа по аналогии с формой представления определений системы, применяющейся в [1], [15], можно символически отобразить определение модели как носителя информации об оригинале для достижения цели субъекта в условиях определенной инфраструктуры:

где О — оригинал (моделируемое явление, объект, источник информации); N — субъект ("наблюдатель" по Эшби), т.е. лицо, которому потребовалась информация об оригинале для достижения своей цели (исследования, принятия решения и т.п.); Z — цель или совокупность целей; IS — инфраструктура, обеспечивающая моделирование, т.е. включающая технологии и условии моделирования: TECH = {meth, means, alg, ...} — совокупность технологий (meth — методы, means — средства, alg — алгоритмы) и COND = {ср,.,, <р,„} — условия существования модели, т.е. факторы, влияющие на ее создание и функционирование (<pei.— внешние, q>;„— внутренние); L — язык для исследования гносеологических аспектов отношения "модель — оригинал".

Можно представить определение модели, раскрыв понятие инфраструктуры IS:

Ф. П. Тарасенко 116, с. 12—15] предлагает также считать видом моделей системные представления, поскольку "понятие системы позволяет дать конечное описание бесконечно разнообразной реальности", подчеркивая, что "совокупность структурно связанных объектов как целое обладает качественно новыми (именуемыми эмерджентными в статике, или синергетическими в динамике) свойствами, которых нет ни у одной части, свойствами, не сводящимися к свойствам частей и не выводящимися из них. При этом, как и любая модель, система изначально неизбежно неполна, является весьма общей моделью, допускающей при необходимости включение в ее состав любых комбинаций остальных понятий, и достижение цели с ее помощью зависит от адекватности модели".

Тогда, выбирая (формируя) определения модели в конкретных условиях, можно использовать определения системы, и в частности определение (1.2), подобное определению системы, опирающемуся на системно-целевой подход к исследованию системы, предложенное одним из авторов учебника.

Обобщенное определение модели, представленное в формализованном виде (1.1), не учитывало функционирования системы и ее взаимоотношения со средой в процессе функционирования объекта. Чтобы учесть это взаимодействие, предлагаются определения, основанные на идее "черного ящика".

Например, модель можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность X — входных воздействий на 5 X} е X, г = 1...пл; совокупность воздействий внешней среды V/ е V, / = 1...яг; совокупность внутренних (собственных) параметров системы е Я, к = 1..щ совокупность выходных характеристик системы е У,] = ...пу.

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, Ну У — непересекаемые множества, содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие. Входные воздействия X и внутренние параметры Н являются независимыми (экзогенными) переменными Х(1)У(1)Н{1). Выходные характеристики — зависимые переменные (эндогенные) У(0.

Процесс функционирования дописывается оператором ґ5:

где Y(t) — выходная траектория; F$ — закон функционирования 5; Fs может трактоваться как функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.

Алгоритм функционирования As — метод получения выходных характеристик Y(t) с учетом входных воздействий

X(t);V(t);H(t). Очевидно, что один и тот же закон функционирования Fs может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных As.

Соотношение (1.3) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени г, отражает его динамические свойства, т.е. (1.3) — это динамическая модель системы S.

Для статических условий математической модели есть отображения X, V, Н в F, т.е.

Соотношения (1.3), (1.4) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д.

В ряде случаев соотношения могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями.

Состояния системы 5 характеризуются векторами: 2'(Щ,...,ф и P(zl...äl где г( = г,(")-4 *аС> в момент t> е (¿0, Г), z¥=zt(tu)...z$ zk(tn) в адомент t(l е (t0, Т) и т.д. k = 1, nz. Z,(£)> Z2(0" "> Zk(t) — это координаты точки в ^-мерном фазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.

Совокупность всех возможных значений состояний {Z} называется пространством состояний объекта моделирования Z, Причем 2^ € Z

Состояние системы S в интервале времени t§< t<T полностью определяется начальными условиями Z°=(zf,г£), где zf = z{(tQ)..., входными X(t), внутренними параметрами H(t) и воздействиями внешней среды V(t), которые имели место за промежуток времени ? - £0 с помощью двухсекторных уравнений:

Время в моделируемой системе 5 может рассматриваться на интервале моделирования Т) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длин Д£.

Таким образом, под моделью функционирования системы понимается конечное множество переменных {Х,2,й) вместе с математическими связями между ними и характеристиками У.

Познание любой системы (5) сводится, по существу, к созданию се модели. Перед изготовлением каждого устройства или сооружения разрабатывается его модель.

Для выбора моделей разрабатывают их классификации. При разработке классификации можно учесть более развернутое определение модели:

"Модель есть отображение... абстрактное (мысленное) или реальное (вещественное); упрощенное (огрубленное, приблизительное); имеющее как истинное, так и ложное ОГЛАВЛЕНИЕ" [16, с. 12|.

Первоначально все модели делили на две группы -физические (вещественные, реальные) и математические (абстрактные, мыслимые). Затем — в соответствии с видами подобия были введены термины физические (обобщающие модели механического теплового и т.п. видов подобия), модели кинематического и динамического, химического, физико-химического и математического подобия.

В последующем физические модели стали иногда делить на натуральные (макеты, опытные образцы); квазинатуральные (совокупность натуральных и математических моделей); масштабные (модели той же физической природы, что и оригинал, но отличаются от него масштабами; методологической основой таких моделей является теория подобия), аналоговые (модели, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования). Математические модели классифицировали различными способами, по при этом интерпретируют неодинаково.

Так, например, С. В. Микони и В. А. Ходаковский предлагают следующий вариант классификации: 1) по степени абстрагирования (содержательные, формальные, формализованные); 2) по детальности отражения свойств объекта (концептуальные, конструктивные); 3) по форме представления (знаковые, графические, табличные или матричные); 4) по реализации (физические, компьютерные); 5) по степени определенности отношений между переменными (детерминированные, недетерминированные); 6) по структуре областей определения и значений функций (непрерывные, дискретные). В различных источниках предлагаются также разнообразные признаки классификации по характеру моделей и моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования (в технике, физических науках, кибернетике и т.д.); по способу отображения (эвристические, натурные и математические); по целям исследования; по особенностям представления (простые и сложные, однородные и неоднородные, открытые и закрытые, статические и динамические, вероятностные и детерминированные и т.д.); по методам моделирования и др.

С учетом предлагаемых различных признаков можно разработать многоаспектную классификацию. Напротив, Ф. П. Тарасенко [16] считает, что все огромное разнообразие моделей достаточно разделить всего на три типа — модель состава (перечень существенных частей системы), модель структуры системы (перечень существенных связей между частями системы), модель "черного ящика" (перечень существенных связей системы с окружающей средой). Любые модели являются либо одной из них, либо нужной (целевой) их комбинацией.

Анализируя различные классификации, авторы пришли к необходимости посвятить этой проблеме самостоятельный параграф 1.7.

При этом с учетом того, что важным признаком для классификации моделей систем является классификация по методам моделирования, классификация моделей систем рассматривается после классификации методов моделирования в параграфе 1.6.

Выбор типа модели зависит от целей моделирования, а также от объема и характера исходной информации о рассматриваемом объекте и возможностей исследователя.

Моделирование всегда предполагает принятие допущений той или иной степени важности. При этом должен удовлетворяться ряд требований к моделям: адекватности, достаточной точности, целесообразности, экономичности и т.п., определение состава и уточнение формы реализации которых зависят от характера задачи, вида моделей и условий моделирования. При анализе систем с помощью моделирования определяют границы работоспособности системы, выполняют имитацию экспериментальных условий, которые могут возникнуть в процессе функционирования системы.

Необходимость в методах моделирования возникает в различных ситуациях для исследования, анализа, прогнозирования. Важной сферой моделирования является принятие управленческих и проектных решений. Поэтому вначале рассмотрим постановку задачи и возникновение проблемы принятия решения.