Модели управления запасами

Под задачей управления товарными запасами понимается такая оптимизационная задача, в которой задана информация:

- о поставках товара;

- о спросе на товар;

- об издержках и условиях хранения товарных запасов;

- критерий оптимизации.

Рассмотрим задачу управления запасами в так называемой классической постановке. Выберем за единичный интервал времени один день. Пусть к концу дня t - 1 на складе находится запас товара в объеме х_t-1 ³ 0. Склад делает заказ на пополнение запаса товара в объеме h_t. Это пополнение поступает к началу следующего дня t, так что запас товара в начале следующего дня составляет x_t-1 + h_t. Пусть s_t - объем товара, запрашиваемый потребителем (или потребителями) в день t (объем заявки).

Если , то склад удовлетворяет заявку потребителя полностью, а остатки товара переносятся на следующий день t + 1, причем издержки хранения этого запаса пропорциональны его объему и равны

Если объем заявки s_t > х_t-1 + h_t, то склад полностью отдает свой запас, а за недопоставленный товар несет потери (например, штрафуется за дефицит), пропорциональные объему дефицита и равные

Таким образом, полные издержки φ(x_t-1, h_t, s_t) склада можно записать в виде:

(8.25)

при этом остаток товара х_t = max{0; х_t-1 + h, - s_t).

Из (8.25) следует:

если х_t > 0, то φ (х_t) = сх_е;

если х_t < 0, то φ (х_t) = -kx_t;

если х_t = 0, то φ (х_t) = 0.

В классической постановке задачи управления запасами предполагается, что сама величина спроса s_t неизвестна, однако известно, что она является независимой случайной величиной, имеющей заданный закон распределения. Пусть распределение вероятностей величины s_t задается непрерывной функцией распределения F(x) с плотностью распределения f(x). Тогда средние полные издержки Ф(х_t-1 + h_t) задаются формулой (М - математическое ожидание)

Задача ставится таким образом: определить объем заказа на пополнение h_t, минимизирующий средние полные издержки, т.е.

Ф(х_t-1 + h_t) ® min, где h_t ³ 0.

Рассмотрим решение классической задачи управления товарными запасами в статической постановке. Обозначим у = (х_t-1 + h_t) и опустим ввиду статичности задачи индекс t в записи объема спроса и пополнения. Рассмотрим следующую задачу:

(8.26)

Перепишем функцию Ф(y) в более удобном виде:

(8.26')

и вычислим ее первую производную:

Заметим, что вторая производная этой функции неотрицательна (т.е. функция выпукла вниз):

поэтому, приравняв первую производную нулю, получим уравнение для минимизирующего запаса у':

(8.27)

Решение (8.27) задачи (8.26) определяет стратегию оптимального пополнения запасов. Величина пополнения запасов, минимизирующая средние полные издержки, задается следующим правилом:

(8.28)

Конкретные числовые характеристики системы управления запасами зависят от вида функции плотности распределения f(x) случайной величины спроса. В качестве примера рассмотрим случаи симметричного "треугольного" распределения спроса, при котором функция плотности распределения имеет график, представленный на рис. 8.10, а. Очевидно, этот график получается параллельным переносом вправо (заменой х на х - а) графика, изображенного на рис. 8.10, б, функции

(8.29)

Рис. 8.10

Вычислим числовые характеристики для функции плотности распределения, заданной в (8.29) (рис 8.10, б). В этом случае функция распределения F(x) задается формулой

(8.30)

Случайная величина спроса s имеет следующие числовые характеристики: математическое ожидание Ms = 0; математическое ожидание квадрата ; дисперсия Ds = b²/6, среднее квадратическое отклонение.

Непосредственные вычисления с использованием функции средних полных издержек в виде (8.26') показывают, что при х ≤ -b.

(8.31)

Используя выражение для первой производной Ф'(х) и выражение (8.30) для функции распределения F(x), можно определить, что при -b ≤ х ≤ 0

(8.32)

Здесь константа интегрирования С, определяется путем приравнивания выражения (8.31) и (8.32) при х = -b: kb = kb + С₁, т.е. С₁ = 0.

Аналогично при 0 ≤ х ≤ b можно получить:

(8.33)

а при х ³ b:

(8.34)

Выражения (8.31)-(8.34) задают в разных интервалах искомую функцию средних полных издержек. Заменяя в ней х на х - а, получим функцию средних полных издержек, если функция плотности распределения спроса имеет вид, изображенный на рис. 8.10, а. Для иллюстрации график функции средних полных издержек для такой функции спроса в случае k > с представлен на рис. 8.11, где оптимальный уровень запаса .

В общем виде для данной функции плотности распределения спроса оптимальный уровень запаса задается формулами

(8.35)

а значение Ф* = Ф(у*) минимума средних полных издержек имеет вид

(8.36)

Из формул (8.35) и (8.36) для данной модели следует, что оптимальный уровень запаса при с ≠ k и минимум средних полных издержек при всех с, k линейно зависят от величины b, т.е. от длины интервала разброса значений величины спроса на товар.

Напомним, что стратегия оптимального пополнения запасов задается формулами (8.28).

Пример 8.3. Пусть некоторая фирма в соответствии с договором реализует со склада по заявкам холодильники, причем ежедневный спрос является случайной величиной, функция плотности распределения которой представлена графически на рис. 8.10, а и колеблется от 20 до 80 холодильников в день. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют 8 руб., а штраф за дефицит (недопоставку) одного холодильника в день равен 17 руб. Требуется определить стратегию оптимального пополнения запаса холодильников и минимальные средние полные издержки.

В условиях рассматриваемой задачи b = (80 - 20)/2 = 30 (хол.); а = (20 + 80/2 = 50 (хол.); с = 8 руб.; k = 17 руб.

В соответствии с формулой (8.35) оптимальный уровень запаса (с < k) составляет

Тогда величина h_t^* пополнения запаса холодильников фирмой, при которой средние полные издержки будут минимальны, задается в соответствии с формулой (8.28) правилом:

где х_t-1 - запас холодильников на складе фирмы на конец предыдущего дня. Так, если на конец предыдущего дня на складе фирмы было 60 холодильников, то пополнять запас не следует, а если на конец предыдущего дня на складе фирмы оставалось 25 холодильников, то следует реализовать заказ на пополнение запаса в количестве 56 - 25 = 31 холодильника.

Если придерживаться этой стратегии пополнения запаса холодильников, то минимальный уровень средних полных издержек в расчете на один день в соответствии с формулой (8.36) составит