Коммутационные функции

Расчет тарифов для всех возрастных групп до распространения вычислительной техники был очень трудоемким. Поэтому еще в XVIII в. для упрощения расчетных формул была разработана методика использования так называемых коммутационных функций. В последнее время с развитием компьютеров эта методика уже не играет такой важной роли, но она может оказаться полезной при вычислении тарифов в электронных таблицах.

Коммутационные функции представляют собой специальные технические показатели, не имеющие определенного "физического" смысла. Их применение вызвано стремлением сократить объем ручных вычислений. Коммутационные функции рассчитываются на основе выбранной таблицы смертности и нормы доходности для всех возрастов по следующим зависимостям:

где ω - предельный возраст таблицы смертности.

Перевод выражений для расчета актуарной стоимости обязательств в коммутационные функции осуществляется путем преобразований общих формул после умножения их числителя и знаменателя на v^х. В результате, формулы принимают более простой и удобный для вычислений вид

В табл. 5.2 приведены значения основных коммутационных функций для некоторых возрастов, рассчитанные по российской таблице смертности 2006 г. для мужчин при норме доходности 5% годовых.

Таблица 5.2. Фрагмент таблицы значений основных коммутационных функций. Таблица смертности (Российская Федерация. Мужчины, 2006 г. при норме доходности 5%)

X	vx	lx	dx	Dx	Cx	Nx	Мx
...
20	0,37689	97 343	236	36 687,55	84,71	630 605,40	6658,60
...
30	0,23138	92 762	735	21 463,03	161,96	337 697,07	5382,43
31	0,22036	92 028	690	20 279,24	144,81	316 234,04	5220,47
32	0,20987	91 338	707	19168,76	141,31	295 954,80	5075,66
33	0,19987	90 631	701	18114,65	133,44	276 786,04	4934,35
34	0,19035	89 930	723	17 118,61	131,07	258 671,39	4800,91
35	0,18129	89 207	760	16 172,36	131,22	241 552,79	4669,84
40	0,14205	85 221	1015	12 105,28	137,31	169 237,81	4046,47
50	0,08720	73 671	1588	6424,39	131,89	76 093,31	2801,03

Расчет единовременной премии по договору страхования жизни

Единовременная страховая (брутто-) премия по договору страхования жизни, также как и в рисковых видах, равна произведению страховой суммы на брутто-ставку:

Брутто-ставка также определяется по формуле, общей для всех видов страхования:

Здесь f - заданная доля нагрузки в брутто-ставке.

Нетто-ставка определяется исходя из принципа эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Обязательства страхователя состоят в уплате единовременной страховой премии. Ее оплата производится полностью в момент заключения договора, поэтому ее современная ожидаемая стоимость совпадает с номинальной величиной.

Актуарная стоимость обязательств страховщика будет складываться из современной ожидаемой стоимости всех видов ответственности, предусмотренных в договоре. Применив принцип эквивалентности и приравняв оценки обязательств сторон, получаем, что величина единовременной нетто-премии соответствует современной ожидаемой стоимости обязательств страховщика по договору:

Нетто-премию можно представить как произведение страховой суммы на нетто-ставку. В свою очередь, как было показано в предыдущих примерах, актуарная стоимость обязательств страховщика равна произведению страховой суммы, подлежащей выплате, на современную ожидаемую стоимость соответствующих единичных (т.е. величиной в одну денежную единицу) обязательств.

Рассчитав актуарную стоимость предусмотренных в договоре единичных обязательств по полученным ранее формулам, определяем единовременную нетто-ставку, а затем и брутто-тариф.

Рассмотрим применение данной методики на примере смешанного страхования жизни.

Пример. Расчет единовременной премии по договору смешанного страхования жизни

Требуется определить величину единовременной страховой премии для договора смешанного страхования жизни мужчины в возрасте х = 30 лет на срок n = 5 лет со страховой суммой s = 100 000 руб.

Гарантированная норма доходности составляет i = 5%, а доля нагрузки в брутто-ставке f = 10%.

В "классическом" варианте смешанное страхование предусматривает выплату одинаковой страховой суммы

- либо в случае смерти застрахованного лица в течение срока страхования,

- либо в случае его дожития до конца действия договора.

То есть такой договор представляет собой комбинацию срочного страхования на случай смерти и страхования на дожитие на тот же срок и с той же страховой суммой.

Современная ожидаемая стоимость обязательств страховщика складывается из актуарных стоимостей страхования на дожитие и на случай смерти:

Обязательства страхователя состоят в уплате единовременной страховой премии П. Как и в рисковых видах, она равна произведению страховой суммы s на тарифную нетто-ставку Т_н. Уплата премии происходит полностью в момент заключения договора. Следовательно, ее современная ожидаемая стоимость равна номинальной величине. Применяя принцип эквивалентности, составляем равенство

Сократив обе части на s, получаем формулу для единовременной нетто-ставки по договору

Для расчетов актуарной стоимости обязательств страховщика удобнее воспользоваться формулами с применением коммутационных функций, подставив туда необходимые значения из табл. 5.2:

Нетто-ставка по договору составит

На основе полученной нетто-ставки и заданной доли нагрузки по общей формуле можно рассчитать брутто-ставку

Единовременная страховая премия по договору будет равна произведению страховой суммы на брутто-ставку:

Если по аналогичному договору гарантированная норма доходности установлена в размере 7% годовых, то единовременная премия составит 79 680 руб., что соответствует брутто-ставке 79,68%. То есть страхование на ту же страховую сумму станет дешевле на 7730 руб.