Количественные критерии эффективности
Из содержания параграфов 11.3 и 11.4 следует, что при количественной оценке эффективности инвестирования недостаточно ограничиться сравнением доходности портфеля 
с доходностью рынка 
. Обязателен также учет риска портфеля. Для этого были предложены различные показатели эффективности, явно учитывающие риск. Большинство из них действует в контексте модели САРМ.
Приведем наиболее распространенные показатели. Коэффициент Йенсена ("апостериорная альфа")
выражает отклонение по вертикали точки на плоскости (σ, 
), соответствующей реальному портфелю, от SML. Коэффициент Йенсена выражается в процентах (как и сама доходность г) и имеет смысл дополнительной доходности, которая получена сверх ожидаемой теоретически.
Коэффициент Трейнора
соотносит дополнительную (по сравнению с безрисковой) доходность портфеля с его рыночным риском.
Коэффициент Шарпа
соотносит дополнительную доходность портфеля с его общим риском. Это наиболее важный и употребительный количественный показатель эффективности.
Пример 11.8
Средняя процентная ставка без риска равна 12% годовых, средняя доходность портфеля А составляет 16% годовых, портфеля В – 20% годовых. Стандартное отклонение доходностей портфелей А и В равны 3 и 7% соответственно. Используя формулу расчета коэффициента Шарпа, определим, при управлении каким портфелем будет достигнута большая эффективность:
Ответ: А.
Поскольку различные коэффициенты предназначены для сравнения различных характеристик портфелей, может оказаться так, что из двух портфелей один является более предпочтительным по одному коэффициенту, но уступает по другому. "Точкой отсчета"
для всех коэффициентов можно считать соответствующие характеристики рыночного портфеля:
■ для коэффициента Йенсена – нулевой уровень;
■ для коэффициента Трейнора – дополнительную доходность рынка 
;
■ для коэффициента Шарпа – величину 
.
Метод V@R
Метод V@R ("value at risk", "сумма под риском") – широко применяемый в риск-менеджменте метод оценки возможных убытков с заданным уровнем вероятности. Сама величина V@R с уровнем доверия р указывает на максимальный уровень потерь, который может быть достигнут с заданной вероятностью. Например, 95%-ная V@R 1 млн руб. означает, что с вероятностью 95% потери не превысят 1 млн руб. В "оставшихся" 5% случаев потери могу оказаться больше, чем 1 млн руб. (и даже значительно больше), однако такие исходы считаются крайне маловероятными, и ими пренебрегают.
Наиболее часто применяются два варианта метода – параметрический и исторический.
В параметрическом варианте метода V@R предполагается, что распределение доходностей портфеля является нормальным. Для расчета нужно знать параметры этого нормального распределения – математическое ожидание и стандартное отклонение (которое также называется волатильностью). Из смысла метода V@R следует, что требуется находить левые односторонние квантили нормального распределения.
Обычно используются следующие уровни доверия и соответствующие им односторонние квантили стандартного нормального распределения:
|
Уровень р, % |
Значение αp |
|
90 |
1,28 |
|
95 |
1,65 |
|
99 |
2,33 |
Если доходность портфеля имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 
и волатильностью (стандартным отклонением) σ, то р%-ная V@R портфеля равна
где S – стоимость портфеля в настоящий момент; αр – р%-ная квантиль стандартного нормального распределения.
Знак "минус" перед выражением в правой части стоит потому, что V@R принято понимать как размер убытков.
Пример 11.9
Стоимость портфеля инвестора составляла 3 млн руб. Волатильность за месяц – 2,5%, ожидаемая доходность за месяц –1,5%. В портфель добавили безрисковый актив на сумму 2 млн руб. Доходность безрискового актива за месяц – 0,5%. Определим одномесячные ожидаемые потери (V@R) нового портфеля (в млн руб.) с уровнем доверия 95%. Распределение стоимости портфеля будем считать нормальным.
Для рисковой части портфеля
За то же время безрисковый актив принесет прибыль
В сумме ожидаемые потери составят
В соответствии с методиками JP Morgan RiskMetrics считается, что волатильность а пропорциональна корню квадратному из продолжительности временно́го горизонта, для которого рассчитывается V@R. Поэтому, если волатильность известна для одного срока, a V@R нужно найти для другого срока, следует умножать ее на корень квадратный из отношения второго срока к первому. Кроме того, на коротких и средних сроках, следуя RiskMetrics, математическое ожидание дневной доходности полагается равным нулю.
Пример 11.10
Величина V@R для заданного портфеля финансовых инструментов, рассчитанная с уровнем доверия 95% и временны́м горизонтом 1 день, составляет 1 млн руб. Какой примерно будет величина VaR этого портфеля для уровня доверия 99% и временного горизонта 10 дней, если дневные доходности независимы и нормально распределены?
Решение:
Тогда
Исторический способ расчета V@R основан на использовании имеющихся исторических данных о стоимости или доходности портфеля. Соответствующая выборка должна быть достаточно большой (желательно, несколько сотен наблюдений), чтобы на ее основе можно было делать выводы о распределении значений и оценивать вероятность того, что в будущем эти значения окажутся в определенных пределах. Алгоритм сводится к следующим действиям:
1) принять имеющиеся наблюдения (N штук) за 100%;
2) для заданного уровня доверия р% рассчитать соответствующее ему количество наблюдений Np = N • р : 100;
3) отсчитывать наблюдения, начиная с наилучших исходов, пока их число не станет равным или превысит Np;
4) наихудший уровень потерь, соответствующий последнему учтенному наблюдению, равен р%-ному V@R.
Пример 11.11
После проведения исторических симуляций распределение приращений стоимости портфеля имеет такой вид:
|
Прирост стоимости портфеля, тыс. руб. |
От -20 до-15 |
От-15 до-10 |
От-10 до-5 |
От -5 до 0 |
От 0 до 5 |
От 5 до 10 |
От 10 до 15 |
От 15 до 20 |
|
Частота, разы |
20 |
40 |
40 |
50 |
50 |
40 |
40 |
20 |
Оценим ожидаемые потери портфеля (в тыс. руб.) с уровнем доверия 90%.
Решение:
Всего имеется
наблюдений.
В 280 случаях приращение стоимости портфеля составляло 15 тыс. руб. или более.
Ожидаемые потери не превысят 15 тыс. руб. с вероятностью 90%.
Применение метода V@R к нахождению оптимального портфеля
Пусть у инвестора имеются обязательства в размере U, которые должны быть погашены в конце некоторого периода. Для их покрытия в начале указанного периода инвестируется капитал S. Предполагается, что распределения доходности всех эффективных портфелей нормальны. Среднее ожидаемое значение доходности 
и ее стандартное отклонение ар зависят от выбора портфеля р. Задача ставится следующим образом: определить минимальный капитал S и соответствующий портфель р, которые обеспечат покрытие обязательств с вероятностью 1 – γ.
Из свойств нормального распределения следует, что S находится из условия
или
Здесь случайная величина распределена стандартно
нормально. Следовательно
где αγ, – квантиль стандартного нормального распределения уровня γ.
Таким образом, критерий выбора инвестиционного портфеля состоит в максимизации величины
где α зависит от уровня доверия. При у < 0,5 (обычно у полагается равным 0,01 или 0,05, см. выше) α > 0.
Получается семейство кривых безразличия в виде прямых линий с положительным наклоном, зависящим от γ. Оптимальный портфель будет точкой касания одной из прямых с эффективной границей, и его положение на этой границе зависит от уровня доверия: чем бо́льшая требуется уверенность в результате (т.е. чем меньше у), тем больше αγ, больше наклон кривых безразличия, оптимальный портфель получается более консервативным, а начальный капитал S – бо́льшим.