Интуиционизм

Его создателем стал голландский математик Лейтцен Эгберт Ян Брауэр. Вся академическая карьера Брауэра была связана с Университетом Амстердама. Здесь он с 1897 по 1904 г. изучал математику и естествознание, затем готовил и в 1907 г. защитил диссертацию "Об основаниях математики".

Для правильного понимания общих взглядов Брауэра и специфических особенностей интуиционизма большое значение имеет написанный им в период работы над диссертацией памфлет "Жизнь, искусство и мистицизм" (1905) [53]. Это мировоззренческий манифест, представляющий собой романтический бунт против рационализма и против традиционного понимания интеллекта и науки. Кроме того, в нем очень сильны настроения в духе универсального мистицизма (Брауэр с восхищением обильно цитирует М. Экхарта, Я. Беме и Бхагавадгиту), включая призыв обратиться внутрь самого себя, и волюнтаристские мотивы, заставляющие вспоминать Шопенгауэра с его учением о воли к жизни. Ряд тем этой эпатажной юношеской работы вошел в состав философии интуиционизма. Первоначально Брауэр не мыслил свои исследования основ математики в отрыве от нравственных, социальных и мировоззренческих вопросов. Научному руководителю до определенной степени удалось внушить ему необходимость отделять математику от его мистических прозрений. Однако и более поздние работы Брауэра поражали современников своим пророческим тоном и склонностью к анализу глубин сознания.

В диссертации Брауэра 1907 г. "Об основаниях математики" содержатся главные идеи интуиционизма: 1) математика – это мысленная конструкция; 2) математика – это внеязыковая активность. Математика согласно Брауэру не может иметь дела ни с чем, что она сама не сконструировала в соответствии с интуитивно ясными требованиями. Поэтому в таких конструкциях и заключается единственно возможное основание математики, других попыток обосновать математику Брауэр не приемлет.

Уже в памфлете 1905 г. им было осуществлено четкое отделение конструктивной деятельности сознания от средств языка [53, с. 4011. В диссертации он писал об этом так: "Люди стремятся посредством звуков и символов вызвать в других людях копии математических конструкций и рассуждений, которые они сами произвели; теми же самыми средствами они пытаются помочь своей собственной памяти. Таким путем появляется математический язык, и в качестве его частного случая – язык логического рассуждения. <...> Тем самым легко представить, что при той же организации человеческого интеллекта и, следовательно, той же математике, мог бы сформироваться иной язык, которому хорошо известный нам язык логического рассуждения не соответствовал бы. Возможно, все еще существуют народы, живущие изолировано от нашей культуры, для которых это в действительности имеет место. И не в большей степени исключена возможность, что на позднейшей стадии развития логическое мышление утратит нынешнюю свою роль в языках культурных народов" [52, с. 73-74].

Математика для Брауэра – "зашита" у самых основ человеческого мышления и сознания. Именно здесь мы находим базовую праинтуицию математики (брауэровская версия кантовской интуиции чистого времени), "в которой соединенное и разделенное, непрерывное и дискретное объединены" и которая порождает, с одной стороны, интуицию порядковых натуральных чисел, а с другой, – линейного континуума [49, с. 78–81]. Если логика для Брауэра – эмпирическая наука, то математика – наука априорная.

Математика для интуициониста есть особый вид умственной деятельности, лежащий глубже уровня языка. Существование, с которым имеет дело математик, – это интроспективно удостоверяемая в своей истинности сфера мысленных конструктивных процессов. Подлинный предмет математики – умственные построения, "существовать" в математике значит "быть построенным" [9, с. 10–11]. Для Брауэра здесь мы имеем абсолютный критерий настоящей математики (мысленная очевидность), и он считает возможным оспаривать право считаться математикой за всем, что не может пройти такой проверки на истинность.

В результате парадоксы теории множеств находят в интуиционизме самое неожиданное разрешение. Они просто становятся сочетаниями слов, лишенными математического смысла. Математическое разрешение их невозможно по той простой причине, что они лежат вне области того, что допустимо называть математикой.

Для интуициониста подлинное математическое утверждение должно иметь вид "Я выполнил в уме построение А", а его математическое (не логическое!) отрицание – такой: "Я выполнил в уме построение В, которое приводит к противоречию предположение, что можно довести до конца построение Л" [9, с. 28–291. В связи с таким пониманием отрицания интуиционисты, конечно же, не признают неограниченного применения логического закона исключенного третьего^[1], а следовательно, – и основанные на нем косвенные доказательства (чистые доказательства существования) в математике. Альтернатива в формулировке закона исключенного третьего означает для интуициониста осуществление одного из двух мысленных построений. Поэтому вполне возможен третий вариант – ни одно из этих построений осуществлено не было.

В приводимых интуиционистами в подтверждение своих взглядов примерах очень важно, что речь идет о бесконечной предметной области. В математике главный интерес представляют именно такие объекты. Сторонник и пропагандист идей интуиционизма в 1920-е гг., Герман Вейль, даже определил (1925) математику как "науку о бесконечном" [7, с. 9, 90]. Вера в универсальную применимость закона исключенного третьего, писал Брауэр в статье "Интуиционистская теория множеств" (1919), "исторически была обусловлена тем, что первоначально классическую логику абстрагировали из математики подмножеств определенного конечного множества, затем приписали этой логике независимое от математики существование a priori, и наконец, на основании этой мнимой априорности, применили ее неправомерным образом к математике бесконечных множеств" [7, с. 77–78]. Трактовка математической бесконечности как бесконечности актуальной (на чем особо настаивал создатель теории множеств Г. Кантор) поддерживает эту ложную аналогию между конечными и бесконечными множествами. Конструктивное понимание существования в математике не позволяет интуиционистам признать актуальную бесконечность в качестве законного математического объекта, та бесконечность, с которой имеет дело математик, всегда есть бесконечность потенциальная [20, с. 49–50]^[2].

Пожалуй, ярче всего такое отношение к бесконечности проявилось в интуиционистской трактовке непрерывного, т.е. в теории континуума. Континуум невозможно мыслить как составленный из отдельных частей, он есть "среда свободного становления" [7, с. 22–26, 76–80, 100–128]. Точки на прямой (действительные числа) определяются через потенциально бесконечно продолжающиеся последовательности рациональных чисел, не связанные определенным законом продолжения (по-немецки Wahlfolge, свободно становящаяся последовательность, последовательность свободного выбора). "При этом безразлично, – пишет Гейтинг, – каким образом определяются члены последовательности, посредством ли закона, свободным ли выбором, жребием ли или как-нибудь иначе" [9, с. 43].

Радикальность позиции интуиционизма привела к тому, что интуиционистская математика потребовала пересмотра не только методов, но и ряда результатов классической математики. Причем это касалось не только канто- ровской теории трансфинитных чисел, но и математического анализа. Некоторые понятия классического анализа распадаются на несколько различных понятий (например, понятие сходимости ряда), а некоторые теоремы перестают иметь место (например, теорема Больцано – Всйерштрасса).

Кроме того, в исходной (брауэровской) версии интуиционизма имеется ярко выраженная тенденция к солипсизму^[3]. В работе "Воля, знание, язык" (1933) Брауэр писал: "<...> возникающие благодаря самораскрытию изначальной интуиции внеязыковые конструкции являются точными и правильными исключительно благодаря присутствию в памяти; <...> однако человеческая память, которой приходится обозревать эти конструкции, по самой природе своей ограничена и подвержена ошибкам, даже когда она призывает на помощь знаки языка. Для человеческого сознания, которое было бы вооружено неограниченной памятью, чистая математика, практикуемая в одиночестве и без помощи знаков языка, была бы точной. Эта точность, однако, вновь была бы утрачена при обмене между человеческими существами, даже обладающими неограниченной памятью, поскольку они оставались бы обреченными пользоваться языком как средством коммуникации" [90, с. 580]. Возможность вывести математические построения за пределы индивидуального сознания, без потери в точности и надежности, представлялась Брауэру весьма и весьма проблематичной. Эта сторона брауэровского взгляда на математику также вызвала критику.