Формализм

Крайности интуиционизма и неудачи логицизма заставили самого известного и влиятельного математика эпохи, Д. Гильберта, сформулировать собственный взгляд на основания математики.

Впрочем, Гильберт к тому моменту уже выступил как законодатель современного понимания аксиоматического метода в математике, которым мы продолжаем пользоваться до сих пор и которое имеет самое прямое отношение к формалистской программе обоснования математики. Гильбертовское понимание аксиоматического метода нашло классическое выражение в его работе "Основания геометрии", изданной в 1899 г. [11]. Рассуждения о столь наглядном предмете, как евклидова геометрия, достигают у Гильберта невиданной до того времени формализации. К тому моменту Р. Дедекиндом и Д. Пеано уже была построена аксиоматика для арифметики натуральных чисел (1888–1889), состоявшая из пяти аксиом и имевшая в основе три первичных понятия – "натуральное число", "единица", "следующее натуральное число". Гильберт сделал то же самое для геометрии. У Гильберта получилась система из 20 аксиом, с тремя первичными типами объектов – "точки", "прямые", "плоскости" и несколькими первичными отношениями – "принадлежность", "между", "конгруэнтность". Воспоминания сохранили знаменитую фразу, брошенную Гильбертом в одном из разговоров в 1891 г., которая максимально емко и одновременно наглядно раскрывает суть гильбертовского понимания аксиоматического метода: "Надо, чтобы такие слова, как “точка”, “прямая”, “плоскость”, во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами “стол”, “стул”, “пивная кружка”" [6, с. 237] (по воспоминаниям О. Блюменталя, собеседники находились в тот момент на железнодорожном вокзале в Берлине [37, с. 79]). Смысл приведенных слов нетрудно понять: все, что нужно знать о первичных объектах и их отношениях для развертывания всей системы геометрии, должно быть явно прописано в аксиомах. Это и есть формальное понимание аксиоматики, когда все вопросы, связанные с истинностью или, хотя бы, психологической убедительностью каждой из аксиом вынесены за рамки рассмотрения. Вместо этого система аксиом как целое должна удовлетворять требованиям 1) полноты – аксиом достаточно, чтобы вывести любую теорему данной теории; 2) независимости – ничего лишнего в этой системе нет, удаление любой из аксиом неизбежно приведет к невозможности доказать какие-либо теоремы; 3) не противоречивости – из нее нельзя вывести логически взаимоисключающие друг друга результаты.

Доказательство непротиворечивости формальной аксиоматической системы служит необходимой компенсацией утраты аксиомами наглядного смысла. Непротиворечивость в то время доказывали методом сведения. Гильберт показал в своей работе 1899 г., что система, описываемая предложенными им для евклидовой геометрии аксиомами, реализуема также во множестве действительных чисел. Следовательно, если бы в предложенной им системе аксиом имелось противоречие, оно существовало бы и во множестве действительных чисел. Аксиоматику для множества действительных чисел Гильберт построил в статье "О понятии числа" [11, с. 315–3211 в том же 1899 г., однако вопрос о ее непротиворечивости оставался открытым.

В перечне знаменитых "проблем Гильберта", сформулированных им в докладе "Математические проблемы" [1, с. 11–64] на втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г., было несколько важных пунктов, посвященных основаниям математики. Вторая проблема гласила: "Исследовать непротиворечивость аксиом арифметики", предлагая сделать следующий после "Оснований геометрии" шаг. Шестая же предлагала аксиоматизировать тс физические дисциплины, в которых важную роль играет математика. Гильберт был убежден, что аксиоматизация теорий – магистральный путь не только для чистой математики, но и для всех остальных областей человеческого знания по мере их математизации. Об этом он позднее сделал доклад "Аксиоматическое мышление" (1917) [10, с. 409-417].

Свой подход к проблеме парадоксов теории множеств Гильберт сформулировал в докладе "Об основаниях логики и арифметики" па третьем Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 г. Как легко догадаться, он отправлялся от своего понимания аксиоматического метода: нужна явная формулировка аксиом и доказательство непротиворечивости получившейся аксиоматической системы. Именно непротиворечивость соответствующей математической теории решает окончательным образом вопрос о существовании тех или иных математических объектов. Для последней цели невозможно вновь и вновь пользоваться методом сведения; на некотором уровне мы должны получить прямое доказательство непротиворечивости. Что это за уровень? С одной стороны, логицисты считали, что последний уровень – это логика, она не требует доказательства непротиворечивости, достаточно осуществить сведение к логическим аксиомам. С другой стороны, Анри Пуанкаре[1] усматривал в построениях логицистов порочный круг, для него арифметика уже скрыто присутствует в той логике, на которую хотят опираться логицисты.

Согласно же Гильберту надо не арифметику сводить к логике, как предлагали логицисты, и не логику сводить к арифметике, как станут несколько позднее считать интуиционисты. Надо строить прямое доказательство непротиворечивости для совместной логико-арифметической аксиоматики [10, с. 400]. Гильберт был настроен в этом отношении весьма оптимистично, он надеялся, что прямые доказательства непротиворечивости удастся дать для натуральных чисел, а далее тем же способом – для действительных и канторовских трансфинитных чисел.

Однако в то время (1904–1905) от детальной реализации этих планов Гильберта отвлекли другие интересы (в первую очередь, физика), и к проблемам оснований математики он вернулся только во время Первой мировой войны. К этому моменту ситуация изменилась. Попытка детальной реализации логицистской программы Расселом и Уайтхедом сделала явными как сильные, так и слабые ее стороны. Э. Цермело была построена аксиоматика для теории множеств. Но главное – за это время появился и начал набирать популярность интуиционизм Брауэра. Именно опасность широкого распространения интуиционистских идей среди математиков (в числе сторонников интуиционизма в то время был и его ученик Г. Вейль!) во многом и заставила Гильберта снова всерьез взяться за практическую реализацию собственной программы обоснования классической математики. Основные идеи своего нового подхода Гильберт изложил в ряде докладов, сделанных на протяжении 1920-х гг. "Все, что в прежнем смысле составляет математику, – говорил Гильберт в докладе “Логические основания математики” (1922), – подлежит строгой формализации с тем, чтобы собственно математику, или математику в узком смысле, превратить в набор формул. <...> Формулы, служащие кирпичиками, из которых строится формальное здание математики, называются аксиомами. Доказательство есть фигура, которая как таковая должна зримо предстать перед нами; <...> Формула называется доказуемой, если она есть либо аксиома (или получается с помощью подстановки из какой-нибудь аксиомы), либо заключительная формула какого-нибудь доказательства" [10, с. 419].

Рядом с привычной (содержательной) математикой Гильберт предлагает построить ее строго формальный аналог. После этого следует доказать непротиворечивость формального аналога для каждой содержательной математической теории. Но какими средствами это допустимо делать?

"Наряду с собственно математикой, формализованной указанным выше образом, – продолжал Гильберт, – возникает в определенной мерс новая математика, метаматематика, необходимая для обеспечения надежности собственно математики, в которой (в отличие от чисто формальных выводов собственно математики) используются содержательные выводы, но только для доказательства непротиворечивости аксиом" [10, с. 419].

Третьим уровнем в гильбертовской схеме оказывается, таким образом, метаматематика – содержательный способ рассуждения о формальных системах. Он хочет ограничиться на метауровне минимальным набором так называемых финитных средств. То есть таких, что их использование не вызывает сомнения у представителей любой точки зрения на математику, даже у интуиционистов, а получаемые с их помощью результаты имеют статус "абсолютных истин". Девиз метауровневых рассуждений – конечность и наглядная обозримость, которые не оставляют никаких поводов для сомнения.

Но математика не может ограничиться финитным (конечным), она постоянно пользуется трансфинитным (бесконечным). Уже использование кванторов всеобщности и существования в применении к бесконечным предметным областям ставит нас перед лицом этой проблемы. Здесь на помощь Гильберту приходит его метод идеальных элементов. "В моей теории доказательств к финитным аксиомам добавлены трансфинитные аксиомы и формулы, подобно тому, как в теории комплексных чисел к действительным элементам присоединены мнимые, а в геометрии к действительным образам добавлены идеальные. Побудительные мотивы для этого и успех метода в моей теории доказательств такие же, как там, а именно: дополнительное включение трансфинитных аксиом происходит во имя упрощения и законченности теории" [10, с. 426].

Если финитными средствами мегауровня удастся доказать непротиворечивость совокупной системы аксиом (объединяющей как финитные, так и трансфинитные аксиомы), то проблема будет решена. Эту тему Гильберт подробно обсуждал в одном из самых знаменитых своих докладов – выступлении в Мюнстере, посвященном памяти К. Вейерштрасса, "О бесконечном" (1925).

Будучи воспитанником Кенигсберга, города Канта, Гильберт в своей зрелой философии математики отдавал явное предпочтение Канту перед Лейбницем. В докладе 1925 г. он недвусмысленно свидетельствовал об этом: "Уже Кант учил, – и это составляет неотъемлемую часть его учения, – что математика обладает абсолютно не зависящим от логики имманентным ОГЛАВЛЕНИЕм, и потому никогда не может быть обоснована с помощью одной лишь логики, отчего, между прочим, старания Дедекинда и Фреге и должны были потерпеть крушение. Более того, нам уже в нашем представлении кое-что дано как предварительное условие применения логических умозаключений и выполнения логических операций: определенные, внелогические конкретные объекты, имеющиеся в созерцании в качестве непосредственных переживаний до всякого мышления. Для того чтобы логические рассуждения были надежными, эти объекты должны быть полностью обозримы во всех частях, и предъявление этих объектов, их различение, следование друг за другом или то, как один из них располагается относительно других, – все это должно даваться непосредственно наглядно вместе с самими объектами как нечто такое, что нс может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведе́нии. Это – та основная философская предпосылка, которую я считаю необходимой как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания и общения. И в частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются сами эти конкретные знаки, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и впоследствии может быть узнаваем снова и снова" [10, с. 439–440].

Легко заметить, что гильбертов замысел прямого доказательства непротиворечивости арифметики метаматематическими средствами является прямой разработкой кантовской концепции "символического конструирования", утверждавшей сохранение конструктивного характера математического мышления при переходе от геометрии, с ее "остенсивным конструированием", к арифметике и алгебре [18, с. 530–531]. Да и свой метод идеальных элементов Гильберт, в том же докладе 1925 г., связывает с кантовскими регулятивными идеями чистого разума (см. параграф 3.6) [10, с. 448].

Несмотря на то что интуиционизм Брауэра также исходил из философии математики Канта, способы развития этой философии у Брауэра и Гильберта оказались различными. Более того, Гильберт и Брауэр оказались антагонистическими фигурами, а не союзниками в борьбе с логицизмом. Гильберт был резко против укладывания классической математики на прокрустово ложе интуиционистских жестких ограничений. "Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор", – эти часто цитируемые слова Гильберта прозвучали в докладе 1925 г. [10, с. 439]. В особенности Гильберт был не согласен с интуиционистской критикой закона исключенного третьего и классической логики вообще. В докладе 1927 г. он выразил свое отношение такими словами: "Отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксеру пользоваться кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки" [11, с. 383].

Говоря о формализме в философии математики, важно четко различать формализм как позицию Давида Гильберта и радикальный формализм в его популярном понимании, который также (хотя и не вполне справедливо) иногда связывают с именем Гильберта.

Сошлюсь в качестве примера на статью Фрэнка Рамсея "Основания математики" (1925). Согласно Рамсею, предложения математики, типа "2 + 2 = 4", формалисты провозглашают "не имеющими смысла формулами, с которыми обращаются согласно некоторым произвольным правилам; они считают, что математическое познание состоит в знании того, какие формулы могут быть выведены из других формул в согласовании с определенными правилами" [34, с. 17–18]. Рамсей прямо указывает при этом на Гильберта.

Такое радикальное понимание формализма существенно расходится с позицией Гильберта, который никогда не отождествлял математику с набором формализмов. Более того, формализованная теория строилась Гильбертом не для того, чтобы заменить собой соответствующую содержательную теорию, а для того, чтобы подтвердить законность содержательного способа рассуждения. Примечательно в этом отношении, что одновременно с разработками по теории доказательств, Гильберт читал в Гёттингене (1920–1921) лекции по наглядной геометрии, максимально далекие от какой-либо формализации. Предисловие к их изданию 1932 г. он начал словами: "В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции – она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести весь этот материал в систематическую связь – и другая тенденция, тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений" [14, с. 5]. Гильберт никогда не предлагал отказаться от второй тенденции во имя безраздельного господства первой, он стремился сохранять их равновесие. Трехуровневая структура (содержательный уровень – формальный уровень – уровень метаязыка), которую создал Гильберт в рамках своего проекта обоснования математики, носит вспомогательный характер и имеет главной своей целью обосновать первый (содержательный) уровень.