Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальная функция распределения нашла широкое применение при анализе надежности объектов техники, биологии, экономики и др. Например, функцию успешно применяют для описания наработки до отказа подшипников, электронных приборов и других изделий.

Неотрицательные случайные значения некоторого параметра распределены логарифмически нормально, если его логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Плотность логарифмически нормального распределения

Плотность распределения описывается зависимостью

где Мх и σ – параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа:

(4.4)

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности

(4.5)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. П6.1 приложения 6) в зависимости от значения квантиля

Математическое ожидание наработки до отказа

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно будут равны

и

Если vx ≤ 0,3, то полагают, что νx = σ, при этом ошибка составляет не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона распределения в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения

Оценки параметров lg x0 и σ определяют по результатам испытаний:

Математическое ожидание Мх, среднее квадратическое отклонение σx и коэффициент вариации νx наработки до отказа соответственно равны

Пример 4.6

Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t = 103 ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t0 = 3,6; σ = 0,3.

Решение

Найдем значение квантиля и определим вероятность безотказной работы:

Ответ: R(t) = 0,0228.

Распределение Вейбулла

Функция распределения Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Описываемый ею закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона распределения В. Вейбулл использовал его при описании и анализе экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов электронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в том числе автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью

где α – параметр формы кривой распределения; λ – параметр масштаба кривой распределения.

График функции плотности распределения приведен на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Функция плотности распределения Вейбулла для λ = 1

Функция распределения Вейбулла

Функция надежности для этого закона распределения

Математическое ожидание случайной величины х равно

где Г(x) – гамма-функция.

Для непрерывных значений х

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле

также верны формулы

Дисперсия случайной величины равна

Широкое применение при анализе и расчетах надежности изделий закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α.

Подбирая нужным образом параметры а и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не используются (а значит, медленнее стареют), опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром α < 1.

Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром α > 1. При α = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.