Интенсивность отказов
Поскольку интенсивность отказов распределения является обобщенной и, следовательно, информативной характеристикой, то она может служить важным критерием для оценки адекватности теоретического распределения.
В работе [31] представлены результаты изучения поведения эмпирических интенсивностей отказов исследуемых выборок. На рис. 4.12 показаны экспериментальные зависимости интенсивности отказов λ и плотности распределения отказов f (в виде гистограмм) исследуемых распределений (для выборок I, III, V, VI). Очевидно, приведенные зависимости исследуемых функций в зависимости от формы распределения (коэффициента вариации) имеют разнообразный и, как правило, немонотонный характер с некоторым установившимся значением в конце распределений. Аналогичные закономерности [31] имеют интенсивности отказов диффузионных распределений. Действительно, как показывает анализ приводимых данных, лучше других эмпирические (экспериментальные) зависимости описываются при использовании DM- и DN-распределений. Лучшие показатели выравнивания приведенных данных имеет DM- распределение. Ему незначительно уступает в способностях выравнивать разнообразную статистику DN-распределение, которое в то же время не уступает в указанном смысле другим двухпараметрическим распределениям. Практическое подтверждение адекватности является доказательством корректности схемы формализации диффузионных распределений.
Рис. 4.12. Гистограммы плотности распределения отказов f и графики зависимостей интенсивности отказов λ во времени, характеризующие:
а – предел прочности стати (коэффициент вариации V = 0,06); б – усталостную долговечность образцов из сплава В-95 (V = 0,56); в – наработку на отказ радиоаппаратуры (V = 1,1); г – долговечность подшипников качения 2209Y(V= 1,5)
Таким образом, диффузионные DM- и DN-функции распределения (ФР) оправдывают себя как модели надежности практически во всех случаях и по всем критериям. Соотношениями из работы [31] и моделями можно пользоваться при оценке показателей надежности изделий.
Расчетные модели для DN-ФР
Рассмотрим модели для диффузионного распределения, соответствующего немонотонному марковскому процессу (DN-распределения):
(4.21)
где v – коэффициент вариации ОПД;
(4.22)
– нормированная функция Лапласа.
Интенсивность отказов λ(ί) определяется следующим образом [31]:
Отсюда среднюю наработку на отказ можно представить в виде
Проведя преобразование функции Лапласа (4.22) через функцию ошибок erf, получим
(4.23)
где 
– функция ошибок.
Полагая v = 0,707 (значения этого показателя для И С оцениваются в интервале от 0,7 до 1,2) и используя формулы (4.21) и (4.23), получаем удобное для вычислений выражение ВБР для DN- распределения:
(4.24)
1. Исходные данные:
– ВБР БРК согласно ТЗ йБрКТз(г) = 0,95;
– количество составных частей (СЧ) БРК 1-го уровня (определяющих СЧ) k = 12;
– количество СЧ БРК 2-го уровня (СЧ, входящих в состав СЧ 1-го уровня) п ≥ 10;
– количество СЧ БРК 3-го уровня (ЭРИ, входящих в состав СЧ 2-го уровня) m≥100.
2. Оценка требуемой ВБР СЧ БРК – нормирование ВБР[1].
С учетом принципа равной надежности СЧ при проведении нормирования показателей надежности, определяем норму ВБР для СЧ всех уровней.
1-й уровень:
2-й уровень:
(4.25)
3-й уровень (ЭРК):
3. Оценка требуемой интенсивности отказов СЧ БРК:
(4.26)
где ri(t) – ВБР составной части БРК; к – количество СЧ; λi – интенсивность отказов i-й СЧ; tCAC – срок активного существования БРК.
В соответствии с формулой (4.26) для E-распределения требуемая интенсивность отказов СЧ БРК составляет
(4.27)
Результаты расчета прогнозных оценок требуемой интенсивности отказов СЧ БРК для E-распределения согласно (4.27) приведены в табл. 4.6.
Таблица 4.6
Результаты расчета оценок показателей надежности СЧ БРК
|
Rсч(t) (для уровней 1–3) |
λ &тя £-распре- деления, 1/ч |
λ для DN-распределения, 1/ч |
Разница порядков |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
RСЧ1(t) = 0,99572 |
4,289 • 10-8 |
1,73• 10-6 |
2 |
|
RСЧ2(t) = 0,999573 |
9,281 • 10-9 |
12,5• 10-7 |
2 |
|
Rсчз(t) = 0,999996 |
4 • 10-11 |
8 • 10-7 |
4 |
Как следует из табл. 4.6, минимальное требование к СЧ 3-го уровня (гипотетически это уровень ЭРК) по интенсивности отказов для БРК (со структурной схемой надежности последовательного типа) составляет 4 • 10-11 1/ч. Однако получение ЭРК с подобной низкой интенсивностью отказов и подтверждение ее экспериментальными методами, но мнению многих авторов, весьма проблематичны.
Пример 4.11 (для DN-распределения)
1. Исходные данные те же, что в примере 4.10.
2. Воспользуемся результатами расчетов по нормированию ВБР, приведенными в примере 4.10, и сравним эффективность распределений по критерию различия порядков интенсивностей отказов СЧ, требуемых для обеспечения одинаковых ВБР (согласно формуле (4.25) в случае E-распределения и DN-распределения) (см. табл. 4.6).
Комбинируя формулы (4.24) и (4.27), нетрудно показать, что разницы порядков в столбце 4 табл. 4.6 являются частными решениями трансцендентного неравенства надежности (своеобразного аналога неравенства Коши – Буняковского):
(4.28)
Сравнительный анализ требуемых λ-характеристик СЧ БРК (см. табл. 4.6) для реализации нормированных ВБР в соответствии с заданными в ТЗ ВБР БРК позволяет сделать вывод либо об очевидной целесообразности применения DN-распределения отказов при построении математической модели расчета надежности, ориентированной на текущий уровень надежности ЭРК, либо об использовании классического стандартизованного экспоненциального распределения с учетом коррекции порядков на основе соотношения
(4.29)
где значение подгоночного коэффициента к получено в результате деления значений столбцов 2 и 3 с последующим усреднением результата деления: оценка математического ожидания М{к} = 0,003088, т.е. неравенство (4.29) является нижней оценкой решения неравенства (4.28).
На основании вышеизложенного материала можно сделать следующие выводы.
1. DN-распределение дает возможность получить количественную оценку надежности ИЭТ.
2. При использовании E-распределения можно получить трансцендентное неравенство надежности (4.28) (рис. 4.13), позволяющее определить откорректированные значения интенсивности отказов по формуле (4.29).
Рис. 4.13. Графическое решение трансцендентного неравенства надежности:
функция BБP R(λ):
1 – для E-распределения отказов; 2 – для DN-распределения отказов; λ – интенсивность отказов; i – точка пересечения кривых 1 и 2