Анализ критического пути
Поскольку при планировании проекта многие операции выполняются параллельно, существует несколько возможных путей прохождения каждого графа. Более длительные операции являются критическими. Любая задержка срока начала или окончания выполнения этих операций приводит к задержке срока выполнения проекта в целом. Последовательность критических операций составляет критический путь проекта. Продолжительность критического пути определяет общую продолжительность проекта.
Для того чтобы определить критический путь, необходимо сделать следующее.
1. Определить для каждой операции наиболее ранние сроки начала и окончания ее выполнения.
Ранний срок начала операции (early start – ES) – дата, раньше которой нельзя приступить к выполнению операции, учитывая сроки выполнения предшествующих ей операций. Аналогично, ранний срок окончания операции (early finish – EF) – дата, раньше которой невозможно закончить выполнение операции, учитывая сроки выполнения предшествующих ей операций. Срок окончания операции определяется суммированием срока начала и продолжительности операции Топерации:
(8.1)
2. Определить для каждого события наиболее поздние сроки начала и окончания. Поздний срок начала операции (late start – LS) – дата, позже которой невозможно приступить к выполнению операции, не нарушив при этом срок реализации проекта в целом. Поздний срок окончания (late finish – LF) – дата, позже которой нельзя завершить операцию, не задержав выполнение проекта.
Поздние сроки определяются обратным прохождением пути проекта:
(8.2)
3. Критическими являются те операции, для которых ранние и поздние сроки начала и окончания совпадают, т.е.:
(8.3)
4. Критический путь определяется продолжительностью критических операций.
Можно провести анализ в терминах сроков наступления каждого события. Тогда производится расчет наиболее ранних и поздних сроков, к которым может завершиться каждое событие. Наиболее ранние сроки каждого события (earliest event time – ЕЕТ) определяют минимальную продолжительность всего проекта. ЕЕТ начального события равен 0. Наиболее поздние сроки каждого события (latest event time – LET) рассчитываются при обратном прохождении сетевого графа. Критическими являются события, для которых выполняются соотношения:
Пример 8.3
Компания реализует проект, последовательность и продолжительность операций которого приведена в таблице.
|
Операция |
Heпосредственно предшествующая операция |
Продолжительность операции, дни |
|
А |
– |
8 |
|
В |
– |
10 |
|
С |
– |
6 |
|
D |
A, B |
8 |
|
Е |
B, C |
9 |
|
F |
C |
14 |
|
G |
D, Е |
14 |
|
H |
F, G |
6 |
Рассчитаем наиболее ранние сроки начала и окончания операций.
|
Операция |
Продолжительность, дней |
ES |
EF |
Примечание |
|
А |
8 |
0 |
0 + 8 = 8 |
– |
|
В |
10 |
0 |
0 + 10 = 10 |
– |
|
С |
6 |
0 |
0 + 6 = 6 |
– |
|
D |
8 |
10 |
10 + 8 = 18 |
Нельзя начать, пока не завершатся Лий |
|
Е |
9 |
10 |
10 + 9 = 19 |
Нельзя начать, пока не завершатся В и С |
|
F |
14 |
6 |
14 + 6 = 20 |
Нельзя начать, пока не завершится С |
|
G |
14 |
19 |
14 + 19 = 33 |
Нельзя начать, пока не завершатся D и Е |
|
Н |
6 |
33 |
33 + 6 = 39 |
Нельзя начать, пока не завершатся F и G |
Для определения наиболее поздних сроков начала операций мы начинаем с последней операции в предположении, что наиболее поздний и наиболее ранний сроки ее окончания совпадают, и проходим граф в обратном порядке.
|
Операция |
Продолжительность, дней |
LS |
LF |
Примечание |
|
H |
6 |
39 |
39 – 6 = 33 |
– |
|
G |
14 |
33 |
33 – 14 = 19 |
G нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала Н |
|
F |
14 |
33 |
33 – 14 = 19 |
F нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала Н |
|
Е |
9 |
19 |
19 – 9= 10 |
Е нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала G |
|
п |
8 |
19 |
19 – 8 = 11 |
D нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала G |
|
С |
6 |
10 |
10 – 6 = 4 |
С нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала Е и F. Нужно использовать наименьший из этих сроков, равный 10 дням |
|
В |
10 |
10 |
10 – 10 = 0 |
В нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала D и Е. Нужно использовать наименьший из этих сроков, равный 10 дням |
|
А |
8 |
11 |
11 – 8 = 3 |
А нужно завершить до наступления наиболее позднего срока начала D |
Критический путь – это путь, построенный но операциям В – E – G – H.
Для того чтобы рассчитать критический путь по срокам начала и окончания событий, построим стрелочный граф с фиктивными операциями. В квадратах указаны наиболее ранние сроки событий, в треугольниках – наиболее поздние сроки событий. Фиктивные операции обозначены пунктирными стрелками и имеют нулевую продолжительность.
Наиболее ранний срок наступления последнего события равен 39 дням, это также определяет общую продолжительность проекта. Расчет значений наиболее ранних сроков наступления событий приведен в таблице.
|
Событие |
ЕЕТ, дней |
Примечание |
|
1 |
0 |
Начальное событие |
|
2 |
0 + 10 = 10 |
ЕЕТ события 1 + длительность операции В |
|
3 |
0 + 6 = 6 |
ЕЕТ события 1 + длительность операции С |
|
4 |
0 + 8 = 8 или 10 + 0 = 10 |
ЕЕТ события 1 + длительность операции А. ЕЕТ события 2 + длительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок |
|
5 |
10 + 0 = 10 или 6 + 0 = 6 |
ЕЕТ события 2 + длительность фиктивной операции. ЕЕТ события 3 + длительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок |
|
6 |
10 + 8= 18 или 10 + 9 = 19 |
ЕЕТ события 4 + длительность операции D. ЕЕТ события 5 + длительность операции Е. Выбирается максимальный срок |
|
7 |
19 + 14 = 33 или 6 + 14 = 20 |
ЕЕТ события 6 + длительность операции G. ЕЕТ события 3 + длительность операции F. Выбирается максимальный срок |
|
8 |
33 + 6 = 39 |
ЕЕТ события 7 + длительность операции Н |
Аналогично, начиная с конечного события, определим наиболее поздние сроки начала событий.
|
Событие |
LET, дней |
Примечание |
|
8 |
39 |
Конечное событие, LET = ЕЕТ |
|
7 |
39 – 6 = 33 |
LET события 8 – длительность операции Н |
|
6 |
33 – 14 = 19 |
LET события 7 – длительность операции G |
|
5 |
19 – 9 = 10 |
LET события 6 – длительность операции Е |
|
4 |
19-8 = 11 |
LET события 6 – длительность операции D |
|
3 |
10 – 0 = 10 или 33 – 14 = 19 |
LET события 5 – длительность фиктивной операции. LET события 7 – длительность операции F. Выбирается минимальный срок |
|
2 |
10 – 0 = 10 или 11 – 0 = 11 |
LET события 5 – длительность фиктивной операции. LET события 4 – длительность фиктивной операции. Выбирается минимальный срок |
|
1 |
11 – 8 = 3 или 10 – 10 = 0 или 10 – 6 = 4 |
LET события 4 – длительность операции А. LET события 2 – длительность операции В. LET события 3 – длительность операции С. Выбирается минимальный срок |
Для критических операций
Задержки выполнения критических операций приводят к изменению срока реализации всего проекта, т.е. для этих операций не существует резервов. Однако, если операция не лежит на критическом пути, она может быть отложена на определенный срок. Запас времени, на который операция может быть отложена, называется резервом.
Резерв (float, total float – TF) – время, на которое операция может быть задержана без увеличения длительности проекта:
(8.4)
Для календарного планирования и разработки расписания проекта важно определение свободного резерва (free float – FF) – времени, на которое операция может быть задержана, не влияя на раннее начало любой последующей операции.
Для любой операции:
(8.5)
Для того, чтобы изобразить резервы времени графически, используется график Ганта.
Пример 8.4
Рассчитаем резервы времени д ля проекта из примера 8.3 (в днях).
|
Операция |
LETокончания |
ЕЕТначала |
Топерации |
ТF |
|
А |
и |
0 |
8 |
3 |
|
В |
10 |
0 |
10 |
0 |
|
С |
10 |
0 |
6 |
4 |
|
D |
19 |
10 |
8 |
1 |
|
Е |
19 |
10 |
9 |
0 |
|
F |
33 |
6 |
14 |
13 |
|
G |
33 |
19 |
14 |
0 |
|
Н |
39 |
33 |
6 |
0 |
Операции В, E, G,H не имеют резервов времени и являются критическими. На графике Ганта, построенном для проекта из примера 8.3, отмечены наиболее ранние сроки начала операций, возможные для данного проекта.
Диаграммы (графики) Ганта (названы в честь Г. Ганта) являются очень распространенным методом представления расписания проектов. Их горизонтальные оси отражают расписание выполнения работ, в то время, как вертикальная ось служит средством отображения структурной декомпозиции работ.