Симплекс-метод с искусственным базисом (М-метод)

Применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи ЛП, записанной в канонической форме.

М-метод заключается в применении правил симплекс- метода к так называемой М-задаче. Она получается из исходной добавлением к левой части системы уравнений в канонической форме исходной ЗЛП таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных линейно-независимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае ее максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа () на сумму искусственных переменных, где М – достаточно большое положительное число.

В полученной задаче первоначальный опорный план очевиден. При применении к этой задаче симплекс-метода оценки теперь будет зависеть "от буквы М". Для сравнения оценок нужно помнить, что М – достаточно большое положительное число, поэтому из базиса будут выводиться в первую очередь искусственные переменные.

В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если оптимальное решение М-задачи содержит искусственные векторы или М-задача неразрешима, то исходная задача также неразрешима.

Путем преобразований число вводимых переменных, составляющих искусственный базис, может быть уменьшено до одной.

Пример 2.8. Найти максимум целевой функции: при условиях

Решение. Матрица условий содержит только один единичный вектор, добавим еще один искусственный вектор (искусственную неотрицательную переменную в первое ограничение):

Получим следующую М-задачу: найти максимум целевой функции при условиях

М-задачу решаем симплекс-методом. Начальный опорный план (0, 0, 6, 8), решение проводим в симплекс-таблицах (табл. 2.3).

В начальной таблице наименьшее соответствует вектору – он вводится в базис, а искусственный векториз базиса выводится, так как ему отвечает наименьшее Q. Столбец, соответствующий, из дальнейших симплексных таблиц вычеркивается.

Таблица 2.3

Решение М-задачи в симплекс-таблицах

Номер

симплекс-

таблицы

Базис

План В

3

2

1

-M

Q

8

2

1

0

1

4

0

1

6

1

1

1

0

6

-

-8М+6

-2М-2

-М-1

0

0

-

3

4

1

0,5

0

1

1

2

0

0,5

1

-

14

0

0

0

Полученный новый опорный план является опорным планом исходной задачи. Для него все , поэтому он является и оптимальным. Таким образом, получен оптимальный план исходной задачи (4, 0, 2) и максимальное значение целевой функции

Пример 2.9. Решить ЗЛП:

Решение. Приведем ЗЛП к каноническому виду, перейдя к задаче "на максимум":

Для нахождения опорного плана переходим к М-задаче:

Дальнейшее решение проводим в симплекс-таблицах (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Решение ЗЛП М-методом

Номер симплекс-таблицы

Базис

В

-10

5

0

0

0

-M

-M

Q

0

М

3

2

-1

-1

0

0

1

0

3/2

М

2

1

1

0

-1

0

0

1

2

0

1

-1

-2

0

0

1

0

0

-

-5М

-3М+ + 10

-5

M

М

0

0

0

-10

3/2

1

-1/2

-1/2

0

0

0

I

-M

1/2

0

3/2

1/2

-1

0

1

1/3

0

5/2

0

-5/2

-1/2

0

1

0

-

-М/ 2- -15

0

-3М/2

-М/2+

+5

M

0

0

-10

5/3

1

0

-1/3

-1/3

0

II

5

1/3

0

1

1/3

-2/3

0

0

10/3

0

0

0

-5/3

1

-15

0

0

5

0

0

В симплекс-таблице II получен опорный план исходной ЗЛП; поскольку все симплекс-разности , то этот план является и оптимальным, т.е. (исходные переменные), (дополнительные переменные), при этом .

При рассмотрении графического метода выделялись три особых случая решения ЗЛП. В симплекс-методе эти случаи определяются следующим образом.

1. Если найден оптимальный план и оценки всех свободных переменных строго больше нуля, то оптимальный план является единственным; если оценки некоторых свободных переменных в оптимальном плане равны нулю, то этот план будет неединственным, так как ввод этих переменных в базис не нарушает критерия оптимальности и не меняет оптимальное значение целевой функции. В соответствии с этим оптимальный план в табл. 2.2 является единственным, а в табл. 2.3 и 2.4 – неединственным (первый особый случай).

2. Если в процессе решения ЗЛП М-методом искусственные переменные не выводятся из базиса, это является свидетельством того, что область определения исходной ЗЛП является пустым множеством: в этом случае ЗЛП не имеет решения ввиду противоречивости системы ограничений (второй особый случай).

3. Если в направляющем столбце все элементы aik неположительны (см. 2.23), то это свидетельствует о незамкнутости области определения ЗЛП; в этом случае ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции (третий особый случай).

Для автоматизации решения задач линейного программирования могут быть использованы стандартные офисные средства Microsoft Excel – надстройка Поиск решения, использующая симплексный метод (линейная оптимизация с помощью надстройки Поиск решения подробно рассмотрена, например, в литературе[1]).

Однако для корректного и эффективного использования программных средств необходимо знать основы линейного программирования, изложенные выше в данной главе.