Модуль действительного числа
Модулем (абсолютной величиной) числа хÎR называют:
½х½= 
Геометрически модуль ½х½ (или½х-у½) выражает расстояние от точки х на координатной прямой до начала отсчета (расстояние между точками х и у). Справедливы свойства:
"хÎR ½х½³0, (1)
"х,у ÎR ½х½=½-х½, ½х-у½=½у-х½, (2)
"хÎR -½х½£ х £½х½. (3)
Докажем свойство (3).
при х³0 имеем ½х½ = х Þ -½х½= -х £ 0 £ х=½х½ Þ (3).
при х<0 имеем ½х½ = -х Þ -½х½= х £ 0£ -х =½х½ Þ (3).
Теорема 1. ½x½£a (a>0) Û -a £ x £ a. (4)
g 
Þ -a £ x £ a.
Пусть 
. Если х ³ 0, то 
Þ 
. Если х<0, то 
Þ 
Þ 
.n
Теорема 2. ½x½ ³ a (a>0) Û 
(5)
gДокажем методом от противного. Пусть вместо (5) справедливо –a<x<a. Тогда по теореме 1: 
, что противоречит условию. Посылка не верна и имеет место (5). n
Теорема 3. "a, bÎR ½a + b½£½a½ + ½b½, (6)
½a - b½³½a½ - ½b½. (7)