Принцип вложенных отрезков. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательностях

Пусть задано множество М числовых отрезков Dn=[an;bn] (nÎN).

Если для отрезков Dn множества М выполнено включение D1ÉD2É … É DnÉ…, т.е. каждый следующий отрезок содержится в предыдущем, то их называют системой вложенных отрезков.

Система вложенных отрезков М будет последовательностью стягивающихся отрезков, если при любом, сколь угодно малом e>0, множество М содержит отрезок с длиной меньше e.

То, что при больших n предел длины n-го отрезка стремится к 0, записывают так: (bn-an)=0.

Теорема (О вложенных отрезках). Для последовательности стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам системы.

gУстановим существование общей точки. Для системы М вложенных отрезков следует, что ("nÎN) ("mÎN) ® an£bm. (1)

Для двух непустых множеств А={an | nÎN}, B={bm | mÎN} выполняется условие (1), значит, по свойству непрерывности множества действительных чисел, существует точка с, принадлежащая всем отрезкам стягивающейся системы, т.е.:

($cÎR): ("nÎN)®an£c£bn.

Для установления единственности найденной точки докажем методом от противного, что не существует двух различных точек, принадлежащих всем отрезкам системы М одновременно. Пусть два различных числа с¹d (с<d) одновременно принадлежат всем отрезкам системы М: (" nÎN) ®(an£c£bn)Ù(an£d£bn).

Из включения [c;d]Ì[an;bn] (" nÎN) и условия d-c>0 имеем, что
bnan>d–c>0 (" nÎN). Последнее неравенство противоречит определению последовательности стягивающихся отрезков. Нельзя допускать наличия двух различных точек c<d, принадлежащих всем отрезкам системы М. Вывод: остается принять существование одной точки, принадлежащей всем отрезкам стягивающейся системы.n

Рассмотрим числовую последовательность {xn}: x1, x2, …, xn ... (2)

Если из последовательности (2) выписывать не все члены подряд, а с пропуском (сохраняя порядок следования), то получаем новую последовательность { }: , , …, , … (3)

Например, можно брать члены с чётными номерами или только с простыми номерами.

Последовательность (3) { }, составленная из членов последовательности (2) с соблюдением порядка следования исходной последовательности, называется подпоследовательностью последовательности (2). При этом:

– член последовательности (2) взятый первым,

k – порядковый номер члена последовательности (3),

nk – номер этого члена в исходной последовательности (2).

В параграфе 1.4 доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно. Последовательность xn=(-1)n – ограничена, но расходящаяся. Однако, всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность (например, для xn=(-1)n таковой будет { }: 1,1,1…).

Теорема(Больцано-Вейерштрасс). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к некоторому числу подпоследовательность.

gПо условию {xn} – ограничена, поэтому

($a,bÎR):("nÎN)® xnÎ[a; b]=D.

Разделим отрезок D пополам. При этом, хотя бы в одной половине, окажется бесконечно много членов последовательности (1) (если в обоих половинах, то условимся брать правую): D1=[a1;b1]ÌD. Выберем один из элементов: ÎD1.

Разделим D1 пополам и снова обозначим через D2 ту половинку, в которой содержится бесконечное число членов xn. Выберем среди них : n2>n1.

Продолжим процесс этот далее. В результате получим последовательность вложенных отрезков Dk=[ak;bk] с длинами при k®¥, а также подпоследовательность { } точек нашей последовательности: ÎDk (n1<n2<…).

Из теоремы о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая любому из отрезков Dk. Очевидно, что { с, т.е. с – предел выделенной подпоследовательности.n