Вывод волнового уравнения для векторного потенциала. Волновое уравнение для векторного потенциала в лоренцевской и кулоновской калибровках
, 
. (11.4)
Подставляя (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной линейной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем:
. (11.5)
Для учета потерь проводимости в левую часть (11.5) следует добавить слагаемое 
[12]. Для однозначного определения 
необходимо задать его соленоидальную и потенциальную части (см. подраздел 2.5).
Потенциальную часть ( 
) можно определить произвольно. Удобно выбрать так, чтобы в (11.5) исчезло слагаемое в скобках.
. (11.6)
Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона.
С учетом (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для электродинамических потенциалов [2].
. (11.7)
. (11.8)
После решения (11.7) и (11.8) для конкретных исходных данных векторы 
и 
находятся после подстановки и j в (11.4). В магнитостатике можно считать потенциальной энергией токов, также как j связан с потенциальной энергией зарядов в электростатике [3].
Если расписать (11.7) в декартовых координатах, получатся три скалярных уравнения, абсолютно подобных (11.8).
Реален ли , или это только лишь «полезное приспособление» для расчета ЭМП? В классической электродинамике и j – лишь вспомогательные величины, поскольку для реального представления ЭМП нам все равно необходим переход к векторам и 
.
Любопытное доказательство реальности , как физического поля приводится в [3]. Векторный потенциал может существовать, даже если =0. Как известно из физики, магнитное поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Векторные линии представляют собой концентрические окружности вокруг соленоида, подобно векторным линиям вокруг проводника с током. Для того, чтобы определить наличие тока в соленоиде (а также магнитного поля в соленоиде) достаточно обойти его по замкнутому пути, даже не приближаясь.
Проанализируем результаты опыта, приведенного в [3, т. 6, стр. 22]. Через две очень близко расположенные на экране весьма узкие щели пропускаются потоки электронов от точечного источника. На некотором расстоянии от экрана анализируют интерференционную картину. Между щелями за экраном расположен миниатюрный соленоид. Когда через соленоид пропускают ток, интерференционная картина смещается. Поскольку вне соленоида =0, получается, что силовое действие на потоки электронов оказывает именно поле [3].
В квантовой электродинамике электродинамические потенциалы считаются фундаментальными величинами, и векторы и j вытесняют из записи физических законов и [3].
Инвариантность волнового уравнения для векторного потенциала относительно градиентных преобразований.
Инвариантность векторного потенциала
Рассмотрим уравнения, которые определяют понятия скалярного и векторного потенциалов.
На основании данных уравнений можно утверждать ,что векторный потенциал определён с точностью до градиента скалярной функции- например функции "х" - то есть =
А' = А + grad(x)
Действительно =
Данное равенство справедливо в силу того, что ротор градиента равен нулю.
Таким образом векторные потенциалы Aи A' приводят к одному и тому же значению вектора индукции B
Инвариантность волнового уравнения для скалярного потенциала относительно градиентных преобразований. Волновое уравнение в лоренцевской и кулоновской калибровках.
Инвариантность скалярного потенциала
Теперь выясним - как должен преобразовываться скалярный потенциал ϕ, чтобы вектор E не менялся.
С учётом определения скалярного потенциала =
а также на основании ранее упоминавшегося равенства =
А' = А + grad(x)
Запишем =
На основании предыдущего равенства можно сделать вывод , что преобразования скалярного потенциала вида:
не меняют значения электрического поля (вектора напряжённости электрического поля).
, . (11.4)