Свойства плоских волн в непроводящем веществе

Длина волны – расстояние между двумя ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний равна .

Волновое число – число, которое показывает какое количество длин волн укладывается в отрезок .

Волновой вектор – вектор, по модулю равный волновому числу, и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке среды.

Волна, типа , где - волновой вектор, называется плоской (можно писать в скалярной форме, т.к. все одинаково для магнитных и электрических полей).

Опр.: Если существует электромагнитная волна, в которой плоскость является геометрическим местом точек постоянной фазы, то волна плоская, а плоскость – фазовая.

- уравнение плоской бегущей электромагнитной волны ( - действительная часть).

Поскольку , то волновое число (волновой вектор перпендикулярен фазовой плоскости). Другими словами для плоской волны первое уравнение Максвелла примет вид:

1) (т.к. - пустое пространство).

, , (для данного случая)

Т.е. для плоской волны первое уравнение Максвелла примет вид:

Следовательно, второе уравнение Максвелла примет вид:

Другими словами, третье уравнение Максвелла для плоской волны примет вид:

Поскольку: и то:

получили дисперсионное соотношение для плоской волны: . Другими словами: .

Ток и 4-потенциал, преобразование их компонент при изменении системы отсчета. Получение лоренцевских преобразований электрического и магнитного полей через преобразование потенциалов при изменении системы отсчета .

4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

где

— скорость света,

— скалярная плотность заряда,

— 3-вектор плотности тока,

— 3-вектор скорости зарядов.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

где — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как . Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырехмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего или , что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты или , причём индексом 0 как правило обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В этой статье мы будем придерживаться первого обозначения.

В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчета электромагнитный потенциал распадается^[1] на скалярный (в трехмерном пространстве) потенциал и трехмерный векторный потенциал ; эти потенциалы и - и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трехмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряженность электрического поля выражается через ф, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряженность магнитного поля (магнитная индукция)^[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное — всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трехмерных векторных обозначениях^[3]:

где — напряженность электрического поля, — магнитная индукция (или — что в случае вакуума в сущности то же самое — напряженность магнитного поля), — оператор набла, причём — градиент скалярного потенциала, а — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырехмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

где — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты .

Приведенное выражение является обобщением выражения ротора для случая четырехмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, компоненты преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

Физический смысл

Физический смысл четырехмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что этот потенциал при взаимодействии с заряженной частицей^[4] (с электрическим зарядом q) дает добавку в фазу ее квантовой волны вероятности:

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя , а в системе единиц, где — просто совпадает с ней).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.