ЗАДАЧА 1

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Факультет «Управление процессами перевозок»

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Основы электродинамики направляющих систем»

Выполнил: студент 4 курса

Птушко Д. А.

Шифр 0812-АТС-1188

Москва 2013 г.

Задача №1

 

ЗАДАЧА 1

По стальному проводу [электрическая проводимость γ = 107 (Ом*м)-1; относительная магнитная проницаемость µ = 103] диаметром 2а = 6,04 мм течет синусоидальный ток І = 100 А частотой ƒ Гц.

Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.

Вариант численного значения частоты тока определяется по формуле:

ƒ= 1,38866 • n2 Гц ,

где nпоследняя цифра шифра студента

Привести вывод формул для определения плотности тока δ и напряженности Н в любой точке сечения провода, не учитывая влияния обратного провода на поле в прямом проводе. При решении задачи использовать цилиндрическую систему координат.

Решение:

Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью γ и магнитной проницаемостью μа

Обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н:

и

В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение ωεа много меньше проводимости γ. Поэтому с большой степенью точности слагаемым

jωεа Ев первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь.

Вектор плотности тока , записанный в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени и тока І, удобно направить в положительном направлении оси z , поэтому = z0 .

Таким образом первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

=

 

 

из первого уравнения Е·γ = .

Умножим обе части второго уравнения на γ0 : ·

или, ,

 

Возьмем ротор от последнего уравнения:

 

считая процесс течения тока установившимся, т.е. div σ = 0 и подставляя σ = z0·σ перейдем к скалярному уравнению

которое и требуется решить в цилиндрической системе координат. Учитывая вид оператора =div grad , в этой системе координат, а также то, что σ от α и от z не зависит (из соображений симметрии), получим:

 

 

 

Введем обозначение q2= ,тогда уравнение примет вид:

или

Последнее уравнение является частным случаем уравнения Бесселя относительно аргумента х = qr и функции у = δ. Его решение имеет вид:

δ=А·J0 (qr) + ВN0 (qr) ,

где А и В — постоянные интегрирования;

J0 (qr) - функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

N0 (qr) - функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Последняя обращается в бесконечность на оси провода, т.е. при r = 0, хотя из очевидных физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому принимаем B = 0.

Следовательно, решение имеет вид:

δ=А·J0 (qr)

Используя второе уравнение Максвелла, определим напряженность магнитного поля:

rot δ= α0 α0 H

Определим постоянную интегрирования А, для чего только что полученное выражение для Н, взятое на поверхности провода (при r = а) приравняем к известному выражению для Я из закона полного тока:

А=

 

Подставим найденное значение А в полученные выше решения для δ и Н:

;

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока δ и комплекс напряженности поля H в любой точке сечения провода. Радиус r может принимать значения от 0 до а. Для точек на оси провода r = 0 ; для точек на поверхности провода r = а.

Так как J0 (0) = 1, то плотность тока на оси провода:

Введем это выражение в формулу решения: δ = δ0 J0 (qr).

Тогда плотность тока на поверхности провода: δ = δ0 J0 (qa).

Очевидно, что произведение qr есть комплексное число:

 

Бесселевы функции от комплексного аргумента также являются комплексными и могут быть представлены в показательной форме:


 

где b0 — модуль;

β0 — аргумент функции J0 (qr);

b1модуль;

β1 — аргумент функции J1(qr), которые определяются по значению помощью табл. 1.

При составлении этой таблицы наличие множителя в составе аргумента qrуже учтено.