Приклад 1

Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в мо­мент часу t0 називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.

Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, прирос­том шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямоліній­но, є границя відношення приросту шляху Δs до відповідного приросту часу Δt, коли приріст часу наближається до нуля.

Приклад 1.

Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t2 + t + 3 (s — шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки:

а) в довільний момент t0; б) в момент часу t = 2 с.

Розв'язання

а) 1) нехай значення аргументу t0 одержало приріст Δt, тоді t1 = t0 + Δt .

2) Знайдемо відповідний приріст шляху

Δs = s(t0 + Δt) - s(t0) = 5(t0 + Δt)2 + (t0 + Δt) + 3 – (5 t02 + t0 + 3) = 5 t02 +10 t0 Δt + 5Δt2 + t0 + Δt + 3 – 5t02t0 3 = 10t0Δt + 5Δt2 + Δt.

3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (се­редню швидкість):

4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приро­сту часу (середньої швидкості):

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t0 дорівнює 10t0 + 1.

Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.

б) Якщо t = - 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21 ;

Відповідь: а) 10t + 1; б)21 .