Решаем простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул
Если вы не поленилсь и осилили предыдущий урок - решение уравнений по тригонометрическому кругу - я вас обрадую.) Решение по формулам будет вам понятно за пять минут. Можете засекать время.)
Итак, начнём с косинуса, он попроще будет. Вспомним решение тригонометрического уравнения cosx = 2/3 из предыдущего урока.
Там у нас в ответе получились две серии корней:
х1 = arccos 2/3 + 2πn, n∈Z
х2 = - arccos 2/3 + 2πn, n∈Z
Нам ничего не мешает записать эти две серииодной строчкой:
х= ± arccos 2/3 + 2πn, n∈Z
И всё! Это выражение - просто сокращённая запись ответа через плюс/минус.
Теперь рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение с косинусом в общем виде:
cosx = а
Нарисуем на круге углы с косинусом, равным а. Вот так:
Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.
И так будет получаться всегда. При любом а.
Если не верите, наведите курсор мышки на картинку.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.
Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:
х1= arccos a + 2πn, n∈Z
х2= - arccos a + 2πn, n∈Z
Объединяем эти две серии в одну:
х= ± arccos а + 2πn, n∈Z
И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.
Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.
В простейшем тригонометрическом уравнении
sinx = а
тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:
х = (-1)narcsin a + πn, n ∈ Z
Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!
Проверим математиков? А то мало ли...)
В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:
sinx = 0,5
В ответе получились две серии корней:
х1 = π/6 + 2πn, n∈Z
х2 = 5π/6 + 2πn, n∈Z
Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:
х = (-1)narcsin 0,5 + πn, n ∈ Z
Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π/6. Полноценный ответ будет:
х = (-1)nπ/6 + πn, n ∈ Z
Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х1; х2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)
Подставляем в ответ с х1 значения n=0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:
х1 = π/6; 13π/6; 25π/6и так далее.
При такой же подстановке в ответ с х2, получаем:
х2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6и так далее.
А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х. Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6и так далее.
Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)
Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.
Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1)n в решение для синуса.
Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.
И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)
Можно подвести итоги.
Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1)narcsin 0,3 + πn, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2πn, n∈Z
tgx = 1,2
Запросто: х = arctg 1,2 + πn, n∈Z
ctgx = 3,7
Одной левой: x= arcctg3,7 + πn, n∈Z
И так далее. Очень удобно. Разумеется, думать никто не отменял.) Даже при использовании готовых формул. Скажем, вам надо решить вот такое уравнение:
cos x = 1,8
Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:
х= ± arccos 1,8 + 2πn, n∈Z
то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.
А если уж вам попалось неравенство, типа