Задача 4. Выручка от реализации товара по цене p составляет:
Выручка от реализации товара по цене p составляет: 
(Денежных единиц), где 
. Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: 
положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения 
, дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.
темп положительный 
темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для 
, а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим график.
| p | (0, 1/2) | 1/2 | 
| 
| 
|
| U'(p) | + | - | -0,47 | - | |
| U''(p) | - | - | + | ||
| U (p) | возрастает выпукла | 0,3 max | убывает выпукла | 0,2 точка перегиба | убывает вогнута |
Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом 
, а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убыв ает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке 
график перегибается (см. на рисунке):
