А) Основные законы равновесия

I. МЕХАНИКА.

А. ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

СТАТИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

а) Основные законы равновесия.

Тело называется твердым, если оно под действием внешних сил не изменяет своей формы. «Твердое тело» - абстракция, означающая, что внутренними

изменениями тела можно пренебречь. В твердом теле можно произвольно переносить точку приложения какой-либо силы по линии действия последней. Направлением действия силы считают линию, проходящую через точку приложения силы и совпадающую с направлением силы. Две противоположно направленные равные силы уравновешиваются (взаимно уничтожаются), тело остается в равновесии. Статика занимается рассмотрением условий, при которых тело под действием сил остается в равновесии. (Статика- учение о равновесии). Всякая действующая на тело сила приводит его в движение или вызывает в нем равную и противоположную по направлению силу противодействия (рис.10),

Действие = противодействию.

Этот закон был сформулирован Исааком Ньютоном (1643- 1727), основателем классической механики, в 1670 г. Действие системы сил не изменяется, если к ней прибавить или от нее отнять взаимно противоположные и равные силы. Если две силы действуют под углом, то их можно сложить по правилу параллелограмма. Диагональ параллелограмма определяет направление и величину силы, равнозначной двум силам, образующим стороны параллелограмма. Силы, образующие параллелограмм, называютсякомпонентами (составляющими), равнозначная им сила (диагональ) – результирующей(Стевин, 1548 – 1620 г).

Экспериментальная проверка этого положения возможна посредством подвеса грузиков на нити, переброшенной через неподвижные блоки (рис.11). Результирующая сил 1 и 2 есть сила тяги 3, равная и противоположная весу среднего подвешенного груза.

Три пространственных силы

имеют результирующей диагональ

параллелепипеда, построенного на трех компонентах (рис. 12).

При сложении трех и более сил на плоскости повторное применение уже знакомого правила силового параллелограмма приводит к силовому многоугольнику. Сложение выполняется

таким образом, что начало вектора, изображающего каждую следующую силу, прикладывается к концу (стрелке) вектора, изображающего предыдущую силу. Если силовой многоугольник замкнут, то силы уравновешены. Если же многоугольник разомкнут, то линия, соединяющая его начальную точку с концом последней силы, определяет результирующую складываемых сил (рис.13, пунктирная стрелка). Не менее существенным, чем сложение сил и получение равнодействующей является разложение силы на компоненты заданного направления (рис.14). Часто компоненты взаимно перпендикулярны и представляют собой силы давления и тяги.

Расчет силового параллелограмма: По теореме косинусов: R² = P² + Q²+ 2PQּcos α

По теореме синусов: P ׃ Q ׃ R = sin δ׃sin ε ׃ sin α = δ + ε = α

Разложение силы на две взаимно-перпендикулярные компоненты (рис.15) :

X = P cos α ; Y = P sin α ; tg α = Y ׃ X .

Непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, можно

смещать вдоль линий их действия до попарного пересечения в одной точке (рис.16)

Параллельные силы. Следует различать три случая: параллельные одинаково направленные силы; параллельные противоположно направленные силы различной величины; параллельные противоположно направленные равные силы.

1. Параллельные одинаково направленные силы

можно сложить при помощи введения

направленных сил; полученные непараллельные

равнодействующие этих сил сводят в общую

точку и вычисляют результирующую

силу (рис.17).

Результирующая двух параллельных одинаково направленных сил равна сумме слагаемых сил. Точка приложения результирующей силы делит прямую, проходящую через точки приложения слагаемых сил, на отрезки обратно пропорциональные величинам сил: P ׃ Q = q ׃ p или Pp = Qq

2. Две параллельные противоположно направленные силы различной величины при помощи введения двух вспомогательных одинаковых (равных) и противоположно направленных сил могут быть превращены в непараллельные и сложены (рис.18). После снятия вспомогательных сил получаем:

Результирующая равна разности параллельных сил и направлена в сторону большей силы. Точка её приложения лежит за силами на продолжении линии, соединяющей точки приложения слагаемых сил: P ׃ Q = q ׃ p или Pp = Qq

3. Параллельные противоположно направленные равные силы не имеют результирующей, они образуют пару сил, вызывающую вращательное движение.

Действие пары сил однозначно определяются произведением числового значения силы Р на расстояние р между точками приложения сил. Рр называется моментом пары, р – плечом пары. Отсюда следует, что пару сил можно произвольно смещать на плоскости или заменить другой, лишь бы сохранилось равенство Рр = Р́р́

При прибавлении к паре двух вспомогательных равных, но противоположно направленных сил получается новая пара с одинаковым моментом ( рис.19).

Действие пары сил не зависит от положения параллельной точки вращения тела (в плоскости пары).

Равновесие вращающегося тела.

На тело действуют две силы. Пусть одна из точек закреплена – в этом случае тело может лишь вращаться, но это если точка лежит на линии действия результирующей, то результирующая уравновешивается равной и противоположной силой, возникающей в закрепленной точке, и тело остается в равновесии. Условие равновесия тела с постоянной точкой вращения следующее: Pp = Qq

Условие равновесия способного вращаться тела : Pp = Qq

Произведение силы на перпендикулярный отрезок от оси вращения до линии действия силы называется вращающим моментом, или сокращенно моментом. Вращающий момент для разных точек тела различен. Там, где может возникнуть неясность, нужно выражаться точнее: вращающий момент силы Р по отношению к точке D. Тело, способное только вращаться, будет в равновесии под действием двух сил в том случае, если вращающие моменты равны и противоположны.

Этот закон находит применение в рычагах. Условие равновесия рычага – закон рычага:

Сила х на плечо силы = весу груза х на его плечо Pp = Qq

Этот закон может быть распространён на произвольно большое число параллельных сил.

Условие равновесия рычага выполняется, когда сумма вращающих моментов, действующих по часовой стрелке, равна сумме вращающих моментов, действующих против часовой стрелки. Говорят также: сумма правовращающих моментов равна сумме левовращающих моментов.

Центр тяжести.

На отдельные частицы твердого тела действуют силы тяжести G1, G2, G3......, Gn. Эти параллельные силы можно сложить и получить результирующую, величина которой равна весу тела. Если подвесить тело за какую-либо точку, то оно будет вращаться под действием вращающего момента силы тяжести до тех пор, пока направление действия силы тяжести не пройдет через точку подвеса. Если тело подвесить за какую-либо другую точку, то получится другое направление действия силы тяжести (относительно тела). Оба направления пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести тела. Если заменить силы тяжести отдельных частиц тела результирующей силой тяжести – весом тела, то центром тяжести будет такая точка тела, через которую при любом положении тела будет проходить направление силы тяжести. По отношению к центру тяжести вращательные моменты сил тяжести уравновешены.

Можно считать, что в центре тяжести сконцентрирован общий вес тела.

Если тело может вращаться вокруг оси, то оно будет в равновесии, когда его центр тяжести находится в вертикальной плоскости, проходящей через ось вращения.

Нахождение центра тяжести является задачей интегрального исчисления; простыми расчетами можно вычислить центры тяжести только для тел правильной формы.

Положения центра тяжести. Треугольники: точка пересечения медиан. Практическое нахождение центра тяжести плоского тела: последовательное подвешивание за две точки. Каждое подвешивание дает направление силы тяжести; точка их пересечения и есть центр тяжести.

Виды равновесия.

Устойчивое равновесие. Центр тяжести S лежит на одной вертикали с точкой подвеса О и ниже её. При подъеме свободного конца тела, подвешенного выше центра тяжести, оно начинает вращаться; Вращательный момент равен произведению веса на расстояние центра тяжести от вертикали, проходящей через точку подвеса. Этот вращающий момент приводит тело в положение устойчивого равновесия (рис. 20,а).

Безразличное равновесие. Центр тяжести находится в точке подвеса. Тело находится в равновесии в любом положении (рис 20,б)

Неустойчивое равновесие. Центр тяжести находится на одной вертикали с точкой подвеса и выше её. Малейший толчок переводит тело в положение устойчивого равновесия (рис 20,в).

Устойчивость положения. Если тело опирается на несколько точек, то его равновесие может быть устойчивым, даже если его центр тяжести лежит выше точек опоры. Сила, необходимая для того, чтобы опрокинуть тело, является мерой его устойчивости. Устойчивость тела тем больше, чем больше площадь его опоры и чем ниже расположен его центр тяжести.