Рівняння дотичної і нормалі до кривої

Нехай рівняння y = f (x) є рівняння деякої кривої, яка в точці M0(x0, f (x0)) має дотичну, тобто функція y = f (x), диференційовна при x = x0. Проведемо через точку M0(x0, f (x0)) кривої y = f (x) дотичну M0T.

Означення. Нормаллю(рис.1) до кривої y = f (x) називається пряма, яка проходить через точку дотику M0(x0, f (x0)) перпендикуляр­но до дотичної в цій точці (пряма M0R).

Рівняння дотичної шукаємо у вигляді:

y – y0 = k(x – x0),

де k = tg a – кутовий коефі­цієнт прямої. Із геометричного змісту похідної відомо, що
tg a = f ¢(x0). Отже, рівняння до­тичної до кривої y = f (x), прове­де­ної в точці M0(x0, f (x0)), має вигляд

y – y0 = f ¢(x0)(x – x0), де y0 = f (x0).

Як відомо, кутові коефіцієнти взаємно перпендикулярних пря­мих зв’язані рівністю k1·k2 = – 1. Тому кутовий коефіцієнт нормалі до кривої, проведеної в точці M0(x0, f (x0)), дорівнює і рів­няння нормалі має вигляд: .

 

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої y = x3 в точці M0(1, 1).

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд:

y – y0 = f ¢(x0)(x – x0),

де x0 = 1, y0 = 1. Маємо y¢ = (x3)¢ = 3x2. Тоді f ¢(x0) = f ¢(1) = 3. Отже, шу­кане рівняння дотичної:

y – 1 = 3(x – 1); 3x – y – 2 = 0.

Рівняння нормалі має вигляд ,

тобто , або x + 3y – 4 = 0.