Заняття 1. Тема: Похідна функції. Основні поняття
Тема: Похідна функції. Основні поняття.
Означення. Похідною функції у = f(х) називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля:
у′ = .
Знаходження похідної називають диференціюванням функції.
Похідну функції позначають y′ або , або f′(x).
Властивості (правила знаходження) похідної:
1) (Cu)′ = Cu′ ;
2) (u+v-w)′ = u′+v′-w′ ;
3) (uv)′ = u′v+uv′ ;
4)
Таблиця похідних основних елементарних функцій :
1) (С)′ = 0 , (С = const);
2) (х)′ = 1;
3)
4) ;
5) ;
6) ;
7) ()′ = ;
8) ;
9) ;
10) ()′ = ;
11) ()′ = - ;
12) (tg x)′ = ;
13) (ctg x)′ = - ;
14) (arctg x)′ = ;
15) (arcctg x)′ = - ;
16) (arcsin x)′ = ;
17) (arccos x)′ = - .
Приклади:
Знайти похідні функцій:
1) у = 4х5 + - 8 -16;
у = 4х5 + - 8-16 = 4х5 + х-6 - 8- 16;
у′ = 4х5-1 + (-6х-6-1) - 8= 20х4 – х-7 - 6= 20х4 - - ;
2) у = (х3 – 2х – 11) ;
у ′ = (х3 – 2х – 11)′+ (х3 – 2х -11)= (3х2 – 2)+
(х3 - 2х – 11)= (3х2 -2) arctg x + ;
3) у = ;
у′ = = =
= = .
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідну функції:
1)
2) y = 2х3 _ 5х2 + 7х - 12;
3) y = х - х2 + х3 - х4;
4) y =2 - + 8;
5) y = 6 + 5 - 7 ;
6) y = tgx – ctgx ;
7) y = + - ;
8) y = (х2 – 2х + 6) ;
9) y = (8х5 – 3х + х4) ;
10) y = ;
11) y = ;
12) y =( - ;
13) у = ;
14) у = ;
15) у = x2 ;
16) у = х arctg х .
17) у = arctg x ;
18) у = ;
19) у = ;
20) у = ;
21) у = х3 ( - 4) .
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1)
2) у = х4 – 4х6 + 9х5 + 2х7 – 2х – 42 ;
3) у = - + ;
4) у = 15 - 3 + + ;
5) у = - - + 0,75 ;
6) у = ;
7) у = (х2 – 3х + 3)(х2 +2х – 1) ;
8) у = ;
9) у = ;
10) у = ;
11) у = (2х3 + 3) arccosx .
Заняття 2
Тема: Похідна складної функції.
Якщо у = f(u) і u = (х) – диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції від функції (або складної функції) у = f( (x)) існує і дорівнює добутку похідної даної функції у по аргументу (х) і похідної (х) по х: у′=f′( (х)) ′(х).
Таблиця похідних складних функцій:
1) (un)′ = nun-1 u;
2) (′ = - ;
3) ()′ = ;
4) ()′ = ;
5) ()′ = ;
6) )′ = ;
7) )′ = ;
8) )′ = - u′ ;
9) (tg u)′ =
10) ctg u)′ = - ;
11) (arcsin u)′ = ;
12) (arccos u)′ = - ;
13) (arctg u)′ = ;
14) (arcctg u)′ = - .
Приклад:
Знайти похідну функції у = ;
у ′ = - = - - (10х – 3) = - .
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1)
2) у = ;
3) у = ;
4) у = ;
5) у = ;
6) у = ( )2;
7) у = (2х3 + 3х2 + 6х +1)4 ;
8) у = ;
9) у = (7 + )3 ;
10) у = ) ;
11) у = ;
12) у = ( + ()2)3 ;
13) у = ;
14) у = ;
15) у = ;
16) у = ()5 ;
17) y = ( – )4;
18) y = ;
19) y = ( + ))6 ;
20) y = - ;
21) y=
22)
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1)
2) у = (2 – 3х)5 ;
3) у = ()2 ;
4) у = ;
5) у = ;
6) у = ;
7) у = ;
8) у = ( - )5 ;
9) у = ;
10) у = х + + ;
11) у = .
Заняття 3
Тема: Похідні неявних функцій і функцій,заданих параметрично.
Похідна функції у = .
Функція у(х) називається неявною, якщо залежність між х і у виражена рівнянням F(х;у) = 0. Щоб знайти похідну від неявної функції, треба дане рівняння продиференціювати, вважаючи у функцією від х, і отримане після цього рівняння розв’язати відносно похідної у ′.
Приклад:
Знайти похідну функції х2у3 - + 3 = 0.
2ху3 + 2х2у2у ′ - 2= 0 ;
2х2у2у ′ = 2- 2ху3 ;
у′ = = ;
Якщо функція задана параметрично:, де х(t) і у(t) –
диференційовані функції,то її похідна: у′(х) = .
Приклад:
Знайти похідну функції
х ′(t) = , у′(t) = 3 - 3 t2 = 3(1 – t2) ;
у′(х) = = 3(1 – t2).
Похідна степенево-показникової функції у = , де u і v – диференційовані функції від х, знаходиться за формулою:
у′ = vu′ +
Приклад:
Знайти похідну функції у = .
у′ = (-) + = )+ +) = (– tg х).
Завдання для роботи в аудиторії:
Знайти похідні функцій:
1)
2) х2 + 5ху + у2 – 7 = 0;
3) у2 + ху + = 0;
4) + ху – 5 = 0;
5) х4 + у4 = х2у2;
6) у3 + = 0;
7)
8)
9)
10)
11)
12) у = ;
13) у = ;
14) у = ;
15) у = ;
16) у = .
Домашнє завдання:
Знайти похідні функцій:
1)
2) х3у3 – 2ху +3 = 0;
3) – arctgу = 0;
4) 2 + tgх - = 0;
5) х = ctg t, у = ;
6)
7) у = ;
8) у = ;
9) у = ;
10) у =
Заняття 4