Преобразование Фурье и операция дифференцирования

Предположим, что абсолютно интегрируемая функция f(x) абсолютно непрерывна в окрестности каждой точки и её производная также абсолютно интегрируема на оси -∞<x<∞. Выясним, как связаны преобразования Фурье функции f(x) с её производной.

Заметим, что из интегрируемости следует существование предела функции при . Этот предел может быть только нулём, так как иначе f(x) не была бы интегрируемой. Интегрированием по частям получаем .

По доказанному, внеинтегральный член равен нулю. Получаем равенство

Если у функции f(x) интегрируемы производные до порядка m, то, повторяя процесс, получаем,

k=0,1,..,m.

Так как, как преобразование Фурье интегрируемой функции есть ограниченная функция от (и даже стремящаяся к 0, при ), то

Итак, чем больше функция f(x) имеет интегрируемых производных, тем быстрее её преобразования Фурье стремятся к нулю на бесконечности.

Замечание. В частности, при некоторой гладкости функции f(x) её преобразование Фурье становится также абсолютно интегрируемой функцией. Из полученного неравенства видно, что для этого достаточно существования в и . Можно ограничиться существованием и , но при дополнительном условии, что они принадлежат не только , но и . В этом случае из следует , откуда

Для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами порядка ≤m получаем

Линейное дифференциальное уравнение на оси относительно функции f(x) переходит в алгебраическое уравнение на оси относительно .Это открывает новые возможности для решения дифференциальных уравнений. Поскольку дифференциальные уравнения, к которым можно применить этот метод должны быть линейными с постоянными коэффициентами, то для обыкновенных дифференциальных уравнений этот метод мало что даёт (учитывая, тем более, что мы должны оставаться в границах класса интегрируемых на всей оси функций). Но для уравнений с частными производными метод преобразования Фурье уже оказывается полезным.