Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности

Рассмотрим применение преобразования Фурье для решения дифференциальной задачи в частных производных на примере задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

, -∞ < x < ∞, ,

.

Чтобы применить к этой задаче классическое преобразование Фурье, мы должны предположить, что эта задача имеет решение, которое удовлетворяет следующим условиям:

а) при любом фиксированном , , ;

б) функция имеет в каждом интервале интегрируемую мажоранту

Последнее условие гарантирует корректность дифференцирования по параметру t под знаком интеграла функции . Применим к уравнению теплопроводности преобразование Фурье:

, , ,

.

Решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии хорошо знакомо: . Мы знаем, что , . Отсюда при имеем .

По формуле свертки

,

и так как , то окончательно

.

Полученная формула решения называется интегралом Пуассона.