Согласно определению производной имеем

f'(x) = .

Если f(x) имеет производную при x=x₁, то предел, стоящий справа, не зависит от того, как ∆x стремиться к нулю (оставаясь положительным или отрицательным).

Но ∆x →0, оставаясь отрицательным, то f'(x₁) > 0. Если же ∆x→0, оставаясь положительным, то f'(x₁) < 0.

Так как f'(x₁) есть определенное число, не зависящее от способа стремления ∆x к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если f'(x₁)=0.

Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции.•

Следствие. Если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль. Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум и минимум.

Бывают случаи, когда в точке производной не существует. В таких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв. Значение аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает минимума или максимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.

Исследование функции в критических точках опирается на следующие теоремы.

Теорема 4(достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала ( кроме, быть может, самой точки x₁). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x=x₁ функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x₁ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если а) f'(x)>0 при x< x₁, f'(x)<0 при x> x₁, то в точке x₁ функция имеет максимум

если б) f'(x)<0 при x< x₁, f'(x)>0 при x> x₁, то в точке x₁ функция имеет минимум.

При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполнятся для всех значений x, достаточно близких к x₁, т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки x₁. Таким образом, всякая точка экстремума является критической точкой. Обратное, вообще говоря, неверно. Критическая точка функции, в которой f'(x) = 0 называется стационарной.