Необходимое условие экстремума
Рассмотрим функцию 
, определенную на промежутке 
, и пусть точка 
– внутренняя точка промежутка: 
.
Определение 1. Точка называется точкой (локального) максимума функции , если существует окрестность этой точки, в которой (при 
) выполняется неравенство 
. Другими словами для малых приращений аргумента 
приращение функции 
.
Определение 2. Точка называется точкой (локального) минимума функции , если существует окрестность этой точки, в которой (при ) выполняется неравенство 
. Другими словами 
при малых .
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Их можно характеризовать следующим образом: приращение функции в точке экстремума имеет постоянный знак, не зависящий от знака (если достаточно мало).
Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то 
.
Доказательство. Дифференцируемость означает существование конечного предела
.
Для этого предела имеется три возможности: 1) 
; 2) 
;
3) . Предположим, что . Тогда для близких к нулю разностное отношение 
. Если же , то и 
(для малых ). В обоих случаях знак 
зависит от знака . Но по условию теоремы – это точка экстремума, значит, знак не зависит от знака . Это противоречие означает, что 
не может быть ни положительным, ни отрицательным. Остается последняя возможность: .
Замечание 1. Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если в точке графика функции , которой соответствует экстремум функции, существует касательная к графику, то эта касательная параллельная оси Ox.
Замечание 2. Сформулированное в теореме условие 
является необходимым, но не достаточным. Например, функция 
имеет производную 
, которая обращается в ноль в точке 
. Однако,
.
Выражение в скобках всегда положительно, как неполный квадрат суммы. Следовательно, 
и в точке нет экстремума.