Экстремум функции. Возрастание и убывание функции
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, и непрерывна в точке .
Пусть называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки , в которой при 
выполняется неравенство 
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие точки экстремума:
В точках экстремума производная 
или не существует.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Достаточные условия экстремума:
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки .
а) Если 
при 
и 
при 
(т.е. при переходе через точку производная меняет
знак “+” на “–“), то точка является точкой максимума.
б) Если при и при (т.е. при переходе через точку производная меняет знак “–” на “+“), то точка является точкой минимума.
Пусть в критической точке функция f(x) имеет вторую производную 
(значит, 
). Если при этом 
, то – точка максимума; если же 
то – точка минимума; если же 
, то вопрос о наличии экстремума в этой точке остается открытым.
Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любых 
и x 
на этом отрезке 
, когда x 
< x .
Аналогично определяется убывание функции на отрезке.
Достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x):
если 
, то функция возрастает;
если 
, то функция убывает.
Чтобы найти экстремум функции нужно:
Найти 
и критические точки, в которых 
или не существует.
Определить знак 
слева и справа от каждой критической точки.
Далее можно найти 
и 
и построить кривую.