II Розв’язування нелінійних рівнянь

Постановка задачі:

Розглянемо задачу знаходження коренів рівняння

, (1)

де - задана функція дійсного змінного.

Розв’язування даної задачі можна розкласти на декілька етапів:

а) досліджена розташування коренів (в загальному випадку на комплексній площині) та їх кратність;

б) відділення коренів, тобто виділення областей, що містять тільки один корінь;

в) обчислення кореня з заданою точністю за допомогою одного з ітераційних алгоритмів.

Далі розглядаються ітераційні процеси, що дають можливість побудувати числову послідовність x_n, яка збігається до шуканого кореня рівняння (1).

1. Метод ділення проміжку навпіл (метод дихотомії)

Нехай і відомо, що рівняння (1) має єдиний корінь . Покладемо a₀=a, b₀=b, x₀=(a₀+b₀)/2. Якщо , то . Якщо , то покладемо

(2)

(3)

(4)

і обчислимо . Якщо , то ітераційний процес зупинимо і будемо вважати, що . Якщо , то повторюємо розрахунки за формулами (2)-(4).

З формул (2), (3) видно, що і . Тому , а отже шуканий корінь знаходиться на проміжку . При цьому має місце оцінка збіжності

. (5)

Звідси випливає, що кількість ітерацій. які необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (1) з заданою точністю e задовольняє співвідношенню

. (6)

де [c] - ціла частина числа c.

Серед переваг даного методу слід відзначити простоту реалізації та надійність. Послідовність {x_n} збігається до кореня для довільних неперервних функцій f(x). До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу та неможливість безпосереднього узагальнення систем нелінійних рівнянь.