Логистический рост
Рассмотрим более общий случай по сравнению с п.1. Пусть 
– убывающая функция 
, т.к. с увеличением выпуска рынок насыщается и цена будет падать.
В результате рассуждений аналогичных п.1 получим уравнение
, (5)
где 
. Уравнение (5) автономное ДУ. Поскольку 
, то 
возрастающая функция .
Автономными ДУназываются ур-я, в которые явно не входит независимая переменная время 
:
. (6)
Это означает неизмен ность законов, по которым развивается экономическая система в рассматриваемый промежуток времени. Такие уравнения часто встречаются в различных вопросах экономической динамики.
Если 
корень уравнения 
, то 
является решением уравнения (6). Такое решение называется стационарным.
Возьмем, например, 
. Тогда уравнение (6) принимает вид:
(7)
Из (7) следует, что 
, если у=0 или 
, а также 
, а 
, т.е направление выпуклости 
такое, как на рис.1.
 |
Рис.1
Разделяя переменные в (7) получим
.
. Разрешая последнее уравнение относительно 
, получим
. (8)
График функции (8) называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.д.
Из графика логистической кривой (рис.3) видно, что при малых логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших характер рота меняется, темпы роста замедляются, и кривая асимптотически приближается к прямой , которая является стационарным решением уравнения (7) и соответсвует случаю 
.
Рис.2
| Рис.3 |
