Закон сохранения энергии в электромагнитном поле

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из поля и частиц. Найдем работу W,произведение силами поля над частицами, находящиеся в объеме V. Относя эту работу W к единице времени t и считая заряды непрерывно распределенные в пространстве и пользуясь формулой плотности для силы Лоренца можем написать:

(1)

Учитывая, что

Преобразуем формулу (1) к следующему виду:

(2)

Добавим к формуле (2) равную величину :

( Первое уравнение Максвелла)

и получим:

(3)

Используя векторное тождество:

Преобразуем первый интеграл в (3) к поверхностному.

(4)

Рассмотрим случай, когда . Если E и B стремится к нулю, при быстрее, чем по закону , то поверхностный интеграл обращается в ноль.

быстрее, чем . А величина поверхности растет как . Следовательно (4) переходит в выражение : (5),

где (6)

Поскольку в левой части (5) стоит работа в единицу времени t, то правая – убыль энергии в единицу времени t. Естественно полагать ,что в замкнутой системе, состоящей из поля и частиц , работа, производимая электромагнитным полем над частицами равна убыли энергии самого поля. При этом полю необходимо приписать энергию, плотность которой выражается формулой (6). Выражение нельзя свести к величинам, определяющимся только взаимным расположением и движением зарядов. Следовательно и нельзя считать потенциальную энергию взаимодействующих частиц. Плотность энергии, в частности, отлично от нуля в той области пространства, которая свободна от частиц. Наличие у электромагнитного поля энергии показывает, что оно не может рассматриваться как математическая фикция, т.е. делающая легким расчет между частицами взаимодействия. Поле столь же реально, что и частицы.

Рассмотрим теперь область поля имеющий конечный объем и ограниченной поверхностью S. Тогда уравнение (4), выражающее закон сохранения энергии показывает что убыль энергии в единицу времени t,т.е. , равна работе сил поля над зарядами и потоку , вытекающее через замкнутую поверхность S. Этот поток естественно интерпретировать, как поток энергии электромагнитного поля, вытекающая наружу через поверхность S из объема V.

Поток энергии является потоком энергии электромагнитного поля, так как он отличен от нуля и тогда, когда никакие частицы не пересекают поверхность и не уносят собой энергии.

Поток энергии электромагнитного поля характеризуется вектором (7), которой называют вектором Пойтинга. С учетом обозначений (6) и (7) уравнение (4) можно представить в виде:

(8)

Выражение (8) носит название теоремы Пойтинга.

Закон сохранения энергии в дифференциальной форме имеет вид:

(9)

В теории излучения встречаются поля убывающей с расстоянием по закону при . В этом случае к конечной величине . Физически это обозначает, что система, теряющая часть своей энергии, излучает.