Численно закон распределения задается в виде таблицы, например такой
| Х | |||
| Р | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Графически закон распределения случайной дискретной величины изображается многоугольником распределения
 |
В диапазоне изменения случайной непрерывной величины Х для каждого числа хсуществует определенная вероятность Р(Х < х), что Хне превосходит х.Зависимость
F(x) = Р(Х < х) = ò f(x) dx
называется функцией распределения, интегральной функцией распределения или законом распределения случайной непрерывной величины Х.
Функция F(x)является неубывающей (монотонно возрастающей для непрерывных величин) функцией х. В пределах изменения случайной величины Х она меняется в пределах 0 £ F (x) £ 1.
Функция f(x)называется плотностью распределения. В задачах надежности она используется как плотность вероятности.
Плотность вероятности f (x) ,связанная с функцией распределения соотношением
f (x) = d F (x) / dx,
называется дифференциальным законом распределения случайной величины.
В теории надежности используются, в основном, следующие характеристики дискретных и непрерывных случайных величин:
- математическое ожидание (среднее значение) -mx,
а) для дискретных величин –
mx = S pi xi,
б) для непрерывных величин –
mx = ò x f(x)dx
- дисперсия -Dx, (характеризует разброс случайной величины),
а) для дискретных величин –
Dx = S (xi - mx)2pi,
б) для непрерывных величин –
Dx =ò (x - mx)2 f(x)dx
- среднее квадратическое отклонение - s,
s = Ö Dx
- коэффициент вариации v,
v = s / mx
Исследование закономерностей изменения технического состояния автомобилей должно базироваться на основных вероятностных законах распределения наработок, которые определяют моменты возникновения отказов. Наработка является непрерывной случайной величиной.
В теории надежности автомобиля чаще всего пользуются следующими законами распределения наработок t: экспоненциальным, нормальным, логарифмически нормальным и распределением Вейбулла.
Экспоненциальное распределение наработок характерно для периода нормальной эксплуатации изделия, когда постепенные (износовые) отказы еще не проявляются и надежность определяется внезапными отказами.
Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность, которая не зависит от возраста изделия.
Функция распределения наработок имеет вид:
F(t) =1 - e - lt,
Плотность распределения:
f (t) = l e - lt .
Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов. Этому закону подчиняются, как правило, наработки до отказа тех изделий, которые отказывают из-за износа трущихся поверхностей, коррозионных разрушений и других факторов, приводящих к монотонному изменению параметров функций изделий.
Функция распределения наработок имеет вид:
F (t) = ( 1 / s Ö 2p ) ò exp{- [(t – m)2 / 2 s2]} dt
Плотность распределения:
f (t) = ( 1 / s Ö 2p ) exp{- [(t – m)2 / 2 s2]}
Нормальное распределение имеет два независимых параметра -mи s,что неудобно для практических расчетов. Поэтому в расчетах на надежность применяют нормированное нормальное распределение F0 (х)и нормированную плотность вероятности f0 (х),
F0 (х) = ò f0 (х) dх
f0 (х) = ( 1 / s Ö 2p ) exp{- [х2 / 2 ]}
а также функцию Лапласа Ф(х).
Ф(х) = ò f0 (х) dх
F0 (х) = 0,5 + Ф(х)
Величина х = (t – m) / s называется квантилью нормированного нормального распределения и обычно обозначается - up
Для нормального распределения характерно правило трех сигм (3 s),согласно которому абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
В теории надежности, на практике, правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально. В противном случае она не распределена нормально.
В логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное описывает наработку до отказа деталей, в частности, по усталости, а также подшипников качения, элементов электронных схем и других изделий.. Это распределение более применимо для оценки степени износа к определенному времени или при испытаниях на долговечность.