Неопределенность измерений

Понятие «неопределенность измерений» введено в практику описания точности средств измерений взамен термина «погрешность измерений». Неопределенность измерений - это параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. [4] Основное различие двух терминов состоит в том, что оценка точности дается не по отклонению от «истинного значения» величины (погрешность) а по разбросу значений, которые могут с определенной вероятностью быть приписаны результату измерений (неопределенность). Важной особенностью концепции «неопределенность измерения» является то, что составляющие неопределенности классифицируются не по природе их возникновения (как систематическая и случайная погрешность), а по методу их определения. Составляющие, определенные путем статистической обработки многократных измерений относятся к типу А, составляющие, определенные другими методами – к типу В. Все составляющие перечня неопределенностей называются «стандартные неопределенности», подчеркивая тем самым что они выражены в терминах среднего квадратического отклонения (СКО) соответствующих распределений и что при расчете суммарной неопределенности различие в методах (типах) их определения стирается и все составляющие имеют при сложении один статус.

Практические рекомендации по применению неопределенности измерений установлены в РМГ 43 – 2001 «Государственная система обеспечения единства измерений. Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений».

Основным количественным выражением неопределенности измерения является стандартная неопределенность (u) и суммарная стандартная неопределенность (uc). В тех случаях, когда это необходимо, вычисляют расширенную неопределенность U = k×uc, где k - коэффициент охвата (числовой коэффициент, используемый как множитель суммарной стандартной неопределенности для получения расширенной неопределенности). Между характеристиками погрешности измерения и неопределенностями измерений существует определенное соответствие: СКО соответствует стандартной неопределенности, доверительные границы - расширенной неопределенности (рисунок 1).

При вычислении неопределенности измерений следует придерживаться последовательности:

1 Составление модели неопределенности (математическое моделирование процесса измерения)

Y = f (X1,…, Xm). (1)

 

 

СКО, характеризующее случайную погрешность Стандартная неопределенность, вычисленная по типу А
СКО, характеризующее неисключенную систематическую погрешность Стандартная неопределенность, вычисленная по типу В
СКО, характеризующее суммарную погрешность Суммарная стандартная неопределенность
Доверительные границы погрешности Расширенная неопределенность

 

Рисунок 1 - Сопоставление оценок характеристик погрешности и неопределенностей результатов измерений

 

2 Определение оценок x1,…, xm входных величин X1,…, Xm,внесение поправок на известные систематические факторы, возникающие в процессе измерения.

3 Определение оценки y результата расчета измерения выходной величины Y.

y = f (x1,…, xm). (2)

4 Определение стандартных неопределенностей u(xj) входных величин X1,…, Xm.

Стандартные неопределенности u(xj) входных величин X1,…, Xm определяют, либо с помощью статистических методов (стандартная неопределенность по типу А), либо иными методами (стандартная неопределенность по типу В).

4.1 Стандартная неопределенность по типу А uА(xj) j-й входной величины Xj выражается в виде СКО от среднеарифметического значения j-й входной величины Xj, вычисленной по формуле:

, (3)

где nj – количество единичных наблюдений j-й входной величины Xj;

i – порядковый номер единичного наблюдения j-й входной величины Xj;

xji – численное значение (результат) i-го единичного наблюдения j-й входной величины Xj.

4.2 Стандартная неопределенность по типу В uВ(xj) j-й входной величины Xj, в случае, когда она является неисключенной систематической погрешностью, вычисляется по формуле:

, (4)

где θj – границы неисключенной систематической погрешности j-й входной величины Xj;

αj – коэффициент, соответствующий принятому для данной j-й входной величины Xj закону распределения (нормального, равномерного, треугольного) внутри границ ±θj.

Для равномерного распределения αj = , а для нормального αj = 2 (при вероятности р = 0,95).

Стандартная неопределенность по типу В, зависит от закона распределения. При условии неполноты сведений о возможных значениях j-й входной величины Xj, чаще всего допускают, что они распределяются по равномерному (прямоугольному) закону в заданных границах относительно оценки xj этой самой величины Xj. При этом стандартная неопределенность по типу В представляет собой оценку СКО.

5 Попарная корреляция (или статистическая зависимость) оценок x1, … , xm соответствующих входных величин X1, …, Xm выражается с помощью коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции r (xj, xk) оценок xj и xk j-й и k-й входных величин Xj и Xk соответственно выражает их статистическую зависимость, является безразмерной величиной и находится в пределах от минус 1 до 1 включительно. При r (xj, xk) = 0 корреляция отсутствует. При зависимости обеих оценок xj и xk входных величин Xj и Xk только от одной переменной коэффициент корреляции r (xj, xk) =1 или r (xj, xk) = –1.

Для вычисления коэффициента корреляции r (xj, xk) используют согласованные пары измерений (xjl, xkl) (где l = 1; …, nkj; nkj - число согласованных пар результатов измерений):

, (5)

где xjl и xkl – согласованная пара результатов измерений j-й и k-й входных величин Xj и Xk соответственно;

и – среднеарифметические значения j-й и k-й входных величин Xj и Xk соответственно.

6 Вычисление суммарной стандартной неопределенности uc (y)

6.1 В случае отсутствия корреляции между оценками x1, …, xm входных величин X1, …, Xm, суммарная стандартная неопределенность uc (y) выходной величины Y определяется по формуле:

, (6)

где u (xj) – стандартная неопределенность, j-й входной величины Xj, вычисленная по типу А или В.

6.2 При наличии корреляции между оценками xj и xk соответствующих входных величинам Xj и Xk суммарная стандартная неопределенность uc (y) выходной величиныY определяется по формуле:

, (7)

где r (xj, xk) - коэффициент корреляции;

u (xj) и u (xk) – стандартные неопределенности j-й и k-й входных величин Xj и Xk, вычисленные по типу А или В.

7 Расширенную неопределенность измерения U получают путем умножения суммарной стандартной неопределенности uс(y) измеряемой величины Y на коэффициент охвата k:

. (8)

В общем виде коэффициент охвата k выбирают в соответствии с формулой

, (9)

где - квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней и доверительной вероятностью р. Значения коэффициента приведены в Приложении А.

Эффективное число степеней свободы определяют по формуле

, (10)

где - число степеней свободы при определении оценки j-й входной величины, при этом для вычисления неопределенностей по типу А, для вычисления неопределенностей по типу В [4].

Часто на практике для упрощения вычисления неопределенности результатов измерений делают предположение о нормальности закона распределения возможных значений измеряемой величины Y и полагают, что k = 2 при p = 0,95 или k = 3 при p = 0,99. Если же предполагают равномерность закона распределения, то k = 1,65 при p = 0,95 или k = 1,71 при p = 0,99 [4].

8 Полный результат измерения должен содержать в себе оценку значения y выходной величины Y и значение расширенной неопределенности измерения U с указанием доли p ожидаемых значений, которые могли бы быть обосновано ей (выходной величине) приписаны:

, р = … (11)

Данная запись буквально означает следующее: большая доля (р) ожидаемых значений, которые могли бы быть обосновано приписаны к измеренной величине Y, находятся в интервале от (y – U) до (y + U).

Пример вычисления неопределенности измерения приведен в Приложении Б.