Обработка результатов косвенных измерений

 

Пусть x1, x2, ..., xn - величины, измеренные прямыми методами. Тогда, если измеряемая величина X является функцией от x1, x2, ..., xn, то есть X = F (x1, x2, ..., xn), то измерение считают косвенным. Погрешность определения величины


X зависит не только от погрешности измерения величин xi, но и от вида функциональной зависимости F.

Рассмотрим два случая косвенных измерений, отличающихся подходами при оценке их погрешности.

Случай 1. Измеряемые аргументы не взаимосвязаны.

Оценку истинного значения измеряемой величины производят по формуле

, (3.1)

где x1, x2, ..., xi - среднее значение аргументов, получаемое по результатам прямых измерений.

Оценку абсолютной погрешности косвенного измерения производят по формуле

. (3.2)

Составляющую погрешности вычисляют по формуле

. (3.3)

Оценку среднего квадратического отклонения составляющих результирующей погрешности определяют из соотношения

, (3.4)

где - оценки среднего квадратического отклонения случайной погрешности результата измерения отдельных xi.

Оценка СКО результата измерения

. (3.5)

Границы интервала, в котором с заданной вероятностью находится случайная погрешность результата измерения,

, (3.6)

где - квантильный множитель распределения итогового результата косвенного измерения, соответствующий доверительной вероятности P.

Если число измерений не менее 20, tp определяется из таблиц нормированного нормального распределения; если же число прямых

измерений меньше 20, то можно воспользоваться распределением Стьюдента с эффективным числом степеней свободы

, (3.7)

где ni - число прямых измерений величины xi.

. (3.8)

 

В качестве можно выбрать квантильный множитель распределения Стьюдента, число измерений которого соответствует минимальному числу произведенных измерений.

Если имеются систематические погрешности Dci прямо измеряемых величин xi, то общую систематическую погрешность Dc вычисляют по формуле

. (3.9)

Ее исключают из результата измерения введением поправки (-Dc).

Граница неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляется по формуле

, (3.10)

где k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При P = 0,95 k = 1,1.

Суммарную погрешность результата косвенного измерения определяют согласно ГОСТ 8.207 - 76 в зависимости от соотношения и , как и для прямых измерений.

Случай 2. Измеряемые аргументы взаимосвязаны (коррелированы) и различие между результатами определяется как погрешностями измерений, так и теснотой связи измеряемых аргументов.

Оценка дисперсии результата косвенных измерений определяется по формуле

(3.11)

где rij - коэффициент корреляции погрешностей измерения величин xi и xj, учитывающий тесноту зависимости между ними.

Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале . Если , то погрешности некоррелированы. Равенство свидетельствует о наличии функциональной (а не вероятностной) зависимости.

Оценку коэффициента корреляции производят по формуле

, (3.12)

где m - наименьшее из чисел наблюдений за величинами xi и xj.

Пример

Произвести оценку суммарной погрешности косвенного измерения мощности по результатам 5 прямых измерений тока и напряжения. Предел основной относительной погрешности амперметра составляет 1%, вольтметра - 2%. Результаты наблюдений представлены в таблице 2 и принадлежат нормальному распределению.

Таблица 2 - Результат измерений

Номер измерения
U, В 10,2 10,1 10,1 10,3 9,9
I, А 2,4 2,2 2,3 2,4 2,3

 

1 Проверки крайних значений возрастающих вариационных рядов U и I показали, что они не являются анормальными.

2 Вычисляем средние арифметические значения U и I.

= 10,12 В; = 2,32 А.

3 Определим среднюю мощность по результатам измерения U и I .

=22,26 Вт.

4 Оцениваем квадрат СКО результатов измерения напряжения и тока.

=440×10-5 В2,

= 140×10-5 А2.

5 Вычислим квадраты частных производных мощности по напряжению и току.

= 5,38 А2,

= 102,41 В2.

6 Произведем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения мощности.

7 Вычислим доверительный интервал случайной погрешности, соответствующий P = 0,95.

Вт.

8 Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения. В качестве границ НСП измерения тока и напряжения принимаем пределы допускаемых погрешностей применяемых средств измерений: для вольтметра - 2%, для амперметра - 1%.

В.

A.

 


9 Определим суммарную погрешность результата измерения D.

Так как , то есть 0,8 < 1,39 < 8, то границы абсолютной погрешности результата измерения D (без учета знака) определяют по более сложной формуле

 

 

 

 

10 Результат измерения:

P = (22,26 ±1,19) Вт, P = 0,95.