Задание 3

Структурная схема надежности приведена на рис 3.1. Значения интенсивности отказов элементов даны в 1/ч

 

Рис. 3.1. Исходная схема системы

1. В исходной схеме элементы 2, 3 и 4 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом A. Учитывая, что , получим

(3.1)

2. Элементы 5 и 6 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом B. Учитывая, что , получим

(3.2)

3. Элементы 8 и 9 в исходной схеме соединены так же параллельно. Заменяем их элементом С, для которого при

(3.3)

4. В исходной схеме элементы 10, 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом D. Учитывая, что , получим

(3.4)

5. Элементы 13 , 14 и 15 образуют соединение “2 из 3”, которое заменяем элементом E. Так как , то для определения вероятности безотказной работы элемента F можно воспользоваться комбинаторным:

(3.5)

6. Преобразованная схема изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Преобразованная схема

Элементы A, B, C, D и 7 образуют (рис. 3.2) мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом F.

7. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент 7. Тогда

(3.6)

где - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе 7 (рис. 3.3, а), - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе 7 (рис. 3.3, б).

а б

Рис. 3.3. Преобразования мостиковой схемы при аболютно надежном (а) и абсолютно ненадежном (б) элементе 7.

Получаем формулу для элемента F:

(3.7)

 

8. В преобразованной схеме (рис. 3.4) элементы 1, F и E образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы всей системы

(3.8)

 

Рис. 3.4. Преобразованная схема

 

9. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 14 (рис. 3.1) подчиняются экспоненциальному закону:

(3.9)

10. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 14 исходной схемы по формуле (3.9) для наработки до часов представлены в таблице 3.1.

11. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D, E и F по формулам (3.1) - (3.7) также представлены в таблице 3.1.

12. На рис. 3.5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.

13. По графику (рис. 3.5, кривая P) находим для - процентную наработку системы ч.

14. Проверочный расчет при ч показывает (таблица 3.1), что .

15. По условиям задания повышенная - процентная наработка системы ч.

Рис. 3.5. Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (Р), системы с повышенной надежностью (Р`) и системы со структурным резервированием элементов (Р``).

 

16. Расчет показывает (таблица 3.1), что при ч для элементов преобразованной схемы (рис. 3.4) , и .

Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (мостиковая система в исходной схеме (рис. 3.1)) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом. При этом самыми ненадежными элементами являются элемента 2-6 и 8-12.

17. Для того, чтобы при ч система в целом имела вероятность безотказной работы , необходимо, чтобы элемент F имел вероятность безотказной работы (см. формулу (3.8))

(3.10)

Очевидно, значение , полученное по формуле (3.10), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1.5раза, при более высоких значениях увеличение надежности системы будет большим.

18. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 2-6 и 8-12 (рис. 3.1) необходимо решить уравнение (3.7) относительно при . Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определенными трудностями, более целесообразно использовать графо-аналитический метод. Для этого по данным табл. 3.1 строим график зависимости . График представлен на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Зависимость вероятности безотказной работы мостиковой системы F от вероятности безотказной работы ее элементов.

 

19. По графику при находим .

20. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (3.9), то для элементов 2-6 и 8-12 при находим

ч . (3.11)

21. Таким образом, для увеличения - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 2-6 и 8-12 и снизить интенсивность их отказов с до ч , т.е. в 2.24 раза.

22. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов приведены в таблице 3.1. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы системы F` и системы в целом P`. При ч вероятность безотказной работы системы , что соответствует условиям задания. График приведен на рис 3.5

23. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования также выбираем элемент F, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже (см. формулу ( 3.10 )).

24. Для элемента F – мостиковой системы – резервирование означает дублирование элементов, работоспособность которых влияет на надежность системы в целом. Для резервирования возьмем элемент 7, как самый ненадежный в укрупненной схеме (рис. 3.2, табл. 3.1)

Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция дискретна.

25. Для повышения надежности мостиковой системы F добавляем к ней параллельно элемент 7*, идентичный по надежности исходному элементу 7.

При добавлении первого же элемента получаем:

(3.12)

Таким образом простое добавление параллельно элемента 7*, к самому ненадежному элементу 7 дало результат, превышающий ожидаемый.

26. Таким образом, для повышения надежности до требуемого уровня необходимо в схеме (рис. 3.2) мостиковую систему достроить элементом 7* (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Структурная схема системы после структурного резервирования.

27. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы F`` и системы в целом P`` представлены в таблице 3.1.

28. Расчеты показывают, что при ч , что соответствует условию задания.

29. На рис. 3.5 нанесены кривые зависимостей вероятности безотказной работы системы после повышения надежности элементов 2-6 и 8-12 (кривая ) и после структурного резервирования (кривая ).

Выводы

1. На рис. 3.5 представлена зависимость вероятности безотказной работы системы (кривая ). Из графика видно, что 90% - наработка исходной системы составляет часов.

2. Для повышения надежности и увеличения 90% - наработки системы в 1.5 раза (до часов) предложены два способа:

а) повышение надежности элементов 2-6 и 8-12 и уменьшение их отказов с до ч , т.е. в 2.24 раза;

б) нагруженное резервирование элемента 7 идентичным по надежности резервныи элементом 7* (рис. 3.7).

3. Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) (рис. 3.5) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая ) выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая ).


 

Литература

1. Липаев В.В. Надежность программных средств. Серия «Информатизация России на пороге XXI века». – М.: СИНТЕГ, 1998, 232 с.

2. Закорюкин В.Б. Надежность устройств автоматики. Учебное пособие. МИРЭА – М., 2000, 111 с.

1. Левин В.И. Логическая теория надежности сложных систем. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 128 с.

2. Надежность технических систем: Справочник/Под ред. Ушакова И.А. - М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.

3. Нечипоренко В.И. Структурный анализ систем (эффективность и надёжность). - М.: Сов. радио, 1977. - 214 с.

4. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. - М.: Радио и связь, 1981. - 216 с.

5. ГОСТ 27.002 - 83 Надежность в технике. Термины и определения.

6. Сотсков Б. С. Основы теории и расчета надежности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники. - М.: Высш. школа, 1970. - 270 с.

 


 


Приложение А. Таблица 3.1. Расчет вероятности безотказной работы системы

Элемент l i,x10-6 ч-1 Наработка t, x 106 ч
0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 0,40 0,60
0,1 0,9753 0,9512 0,9277 0,9048 0,8825 0,8607 0,8395 0,8187 0,9608 0,9418
2-6 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0,2865 0,2231 0,1738 0,1353 0,6703 0,5488
0,5 0,8825 0,7788 0,6873 0,6065 0,5353 0,4724 0,4169 0,3679 0,8187 0,7408
8-12 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0,2865 0,2231 0,1738 0,1353 0,6703 0,5488
13-15 0,1 0,9753 0,9512 0,9277 0,9048 0,8825 0,8607 0,8395 0,8187 0,9608 0,9418
A - 0,9892 0,9391 0,8531 0,7474 0,6368 0,5311 0,4360 0,3535 0,9642 0,9082
B - 0,9511 0,8452 0,7216 0,6004 0,4909 0,3965 0,3174 0,2524 0,8913 0,7964
C - 0,9511 0,8452 0,7216 0,6004 0,4909 0,3965 0,3174 0,2524 0,8913 0,7964
D - 0,9892 0,9391 0,8531 0,7474 0,6368 0,5311 0,4360 0,3535 0,9642 0,9082
E - 0,9982 0,9931 0,9851 0,9746 0,9618 0,9472 0,9310 0,9133 0,9955 0,9902
F - 0,9856 0,9035 0,7507 0,5695 0,4010 0,2663 0,1688 0,1032 0,9462 0,8490
P - 0,9595 0,8535 0,6861 0,5022 0,3404 0,2171 0,1319 0,0772 0,9051 0,7917
2'-6' ,8'-12' 0,4465 0,8944 0,7999 0,7154 0,6399 0,5723 0,5119 0,4578 0,4095 0,8365 0,7650
A' - 0,9988 0,9920 0,9770 0,9533 0,9218 0,8837 0,8406 0,7940 0,9956 0,9870
B' - 0,9888 0,9600 0,9190 0,8703 0,8171 0,7617 0,7060 0,6513 0,9733 0,9448
C' - 0,9888 0,9600 0,9190 0,8703 0,8171 0,7617 0,7060 0,6513 0,9733 0,9448
D' - 0,9988 0,9920 0,9770 0,9533 0,9218 0,8837 0,8406 0,7940 0,9956 0,9870
F' - 0,9971 0,9789 0,9368 0,8701 0,7837 0,6856 0,5841 0,4860 0,9887 0,9651
P' - 0,9707 0,9247 0,8562 0,7672 0,6652 0,5590 0,4565 0,3634 0,9457 0,9000
7'' - 0,9862 0,9511 0,9022 0,8452 0,7840 0,7216 0,6600 0,6004 0,9671 0,9328
F'' - 0,9996 0,9948 0,9777 0,9415 0,8843 0,8083 0,7193 0,6241 0,9978 0,9899
P'' - 0,9732 0,9398 0,8935 0,8303 0,7506 0,6590 0,5622 0,4667 0,9543 0,9231