Случайные величины

Каждая случайная величина имеет ряд значений, которые возникают с определенной вероятностью. В этом случае распределение случайной величины представляет собой перечисление ее возможных значений с указанием их вероятностей.

Случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта или испытания может принять одно из возможных значений и для которой можно узнать в той или иной форме закон распределения вероятностей этих возможных значений. Случайные величины могут носить прерывный (или дискретный) и непрерывный характер.

Дискретная случайная величина может принимать лишь определенные значения, которые отделены друг от друга конечными интервалами. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Как правило, закон распределения выражается функцией распределения или плотностью распределения случайной величины.

Для характеристики случайной величины необходимо знать не только ее возможные значения, но и насколько часто появляются различные значения этой величины. Частоту появления случайной величины лучше всего характеризовать вероятностью отдельных ее значений, то есть для случайной величины Х следует указывать не только ее значения , но и вероятность событий Х = х_i:

, (3.1)

где i = 1, 2, 3…

Если перечислены все возможные значения Х, то события не только несовместны, но и единственно возможны, то сумма заданных вероятностей должно равняться единице.

Закон распределения дискретной случайной величины чаще всего имеет табличную форму изложения, где перечисляются все возможные значения случайной величины и вероятности, с которыми они возникают.

Для наглядности ряд распределения изображают графически, т.е. в прямоугольной системе координат откладывают по оси абсцисс возможные значения случайной переменной, а по оси ординат их вероятности. При графическом изображении образуется эмпирическая кривая распределения, которая служит одной из форм закона распределения.

Дискретная и непрерывная случайные величины имеют бесконечное множество значений, перечислить которые невозможно. Поэтому рассматриваются вероятности Р событий случайной величины, когда , где х − некоторая текущая переменная (реализация случайной величины Х).

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:

. (3.2)

Эта функция служит одной из форм выражения закона распределения случайной величины. Данная универсальная характеристика может применяться как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, называется также интегральным законом распределения, который имеет ряд свойств (рис. 3.1.):

1. всегда неотрицательная функция, т.е. .

2. Поскольку вероятность не может принимать значения больше 1, то .

3. Так как − неубывающая функция, то при и .

4. Предельное значение функции распределения при равно 0, а при равно 1.

Рис. 3.1. Интегральное распределение случайной непрерывной величины

Вероятность дискретной случайной величины увеличивается скачком при прохождении x через каждое возможное значение величины X. Между двумя соседними значениями функция неизменна, поэтому графически она изображается в виде ступенчатой кривой (рис.3.2.).

F(x) 0,5

x_i

Рис. 3.2. Распределение случайной дискретной величины

Плотностью распределения (плотностью вероятности) f(x) непрерывной случайной величины Xназывается производная ее функции распределения

. (3.3)

Плотность распределения обладает двумя основными свойствами:

1) функция плотности распределения не может принимать отрицательные значения, т.е. ;

2) площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1, то есть: .

Выражение (3.3) является производной от функции распределения случайной величины, характеризующей плотность, с которой распределяется значения случайной переменной в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения и часто обозначается . Ее называют еще дифференциальнойфункцией, или дифференциальным законом распределения. Вероятность того, что случайная величина X примет значения , лежащие в интервале от a до в , равна определенному интегралу от плотности вероятности в тех же пределах, т.е.

. ( 3.4 )

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины называется дифференциальной кривой распределения (рис. 3.3.).

Если на оси абсцисс выделить отрезок а в, то площадь под кривой закона распределения на этом участке определит вероятность того, что случайная величина окажется в указанных пределах.

f(x)

0 а в

Рис. 3.3. Дифференциальное распределение случайной величины

В каждом отдельном случае эмпирическую кривую распределения, полученную в результате наблюдений или измерений, можно рассматривать как некоторое приближение к соответствующей кривой распределения случайной величины, а характеристики ряда распределения, как приближение к аналогичным характеристикам кривой распределения.

Степень приближения будет возрастать по мере увеличения числа наблюдений или измерений.

Конечной целью исследования эмпирических кривых распределения является установление теоретической кривой, которая наиболее близко описывала бы данный эмпирический материал.

Математическим ожиданием случайной величины X называется среднее значение - для дискретной случайной величины; - для непрерывной случайной величины. Здесь p_i – вероятность значения x_i случайной величины X.

Дисперсия случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания:

- для дискретной случайной величины

;

- для непрерывной случайной величины

Среднеквадратическое отклонение случайной величины X есть корень квадратный из дисперсии .

Величины, определяющие характер распределения случайной величины (смещения центра группирования, рассеяние относительно центра группирования и др.), называется параметрами закона распределения.

Математическое выражение для среднего значения случайной величины

Статистическое определение среднего значения случайной

величины:

где х_i – опытное значение случайной величины; n − число измерений.

Математическое выражение дисперсии: