Оценки случайных величин
Различают точечные и интервальные оценки. Точечная оценка 
некоторого параметра 
определяется по результатам выборки одним числом. Для того, чтобы точечная оценка была «хорошей» необходимо, чтобы она была состоятельной, несмещенной, эффективной. Задача оценивания параметров 
и 
сводится к нахождению таких функций от выборки 
и 
, которые могут быть использованы для приближенного определения параметров и . В качестве точечных оценок для 
и нормально распределенной СВ 
( 
) принимаются:
(1.2)
(1.3)
Точечные оценки не указывают величины ошибки, которая совершается при замене и их приближенными значениями 
и 
. Поэтому иногда выгоднее пользоваться интервальной оценкой, которая определяется двумя числами 
и 
– концами интервала, накрывающего оцениваемый параметр с заданной вероятностью (надежностью).
Пусть 
– точечная оценка параметра . Она тем лучше, чем меньше разность 
. Тогда в качестве характеристики точности оценки можно взять некоторое 
такое, что 
.
Доверительной вероятностью оценки называется вероятность 
выполнения неравенства 
. Доверительный интервал – это интервал, который накрывает неизвестный параметр 
с заданной надежностью . Чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка.
При неизвестном доверительный интервал для математического ожидания СВ 
имеет вид:
, (1.4)
где величина 
определяется по таблицам по заданному уровню значимости 
(либо надежности ) и объему выборки 
.
Доверительный интервал для задается неравенствами
, если 
, (1.5)
либо
, если 
. (1.6)
Величина 
определяется по таблице доверительных интервалов для по доверительной вероятности 
и объему выборки 
.
Медианой 
называется вариант, который приходится на середину ряда распределения. При вычислении медианы дискретного ряда рассматриваются два случая: объем совокупности четный и нечетный. В первом случае применяется формула 
, если 
( – объем совокупности). Если 
, то медиана: 
.
Модой 
называется вариант, который наиболее часто встречается. Мода – это вариант, которому соответствует наибольшая частота или частоты.
Эмпирической функцией распределения СВ называют функцию
,
где 
– число значений 
меньших, чем 
;
– объем выборки.
Эмпирическая функция распределения используется в качестве оценки функции распределения.
Для наглядности данные выборки можно представить графически в виде гистограммы, а также полигона относительных частот. Для построения гистограммы интервал наблюдаемых значений СВ разбивается над подынтервалы равной длины 
, на каждом из которых строится прямоугольник с высотой 
, где 
– число значений СВ из выборки, попадающих в рассматриваемый подынтервал. Ломаная, соединяющая точки пересечения середин подынтервалов с соответствующими высотами , образуют полигон относительных частот.
Если форма гистограммы или полигона относительных частот напоминает кривую Гаусса, то можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении СВ . Для проверки того, что СВ можно использовать следующие характеристики: асимметрию 
и эксцесс 
, где 
.
Для нормального распределения 
, 
. По данным выборки объема можно найти точечные оценки 
и 
:
, 
, (1.7)
где 
, а также средние квадратичные ошибки и их определения
; 
. (1.8)
Гипотеза о нормальности закона распределения СВ выдвигается, если 
и 
. В противном случае она отвергается.
После предварительного выбора закона распределения рекомендуется применять строгие критерии согласия.
1.3. Критерий 
-Пирсона
При проверке гипотезы о нормальном распределения СВ с помощью критерия -Пирсона поступают следующим образом:
1) вычисляют вероятности 
попадания СВ в подынтервалы 
, 
;
2) вычисляют выборочную статистику
; (1.9)
3) сравнивают 
с квантилем 
, определяемым по таблицам по заданному уровню значимости 
и числу степеней свободы 
, где 
– число параметров предполагаемого распределения СВ . Если 
, то считают, что нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае гипотеза отклоняется.