Пояснения к работе. Многократные измерения позволяют повысить точность результата

Многократные измерения позволяют повысить точность результата. При этом измерение физической величины производится несколько раз в одних и тех же условиях (одним оператором, с использованием одного и того же средства и метода измерений). Полученные данные обрабатывают с помощью статистических методов. Обязательным условием применимости статистической обработки результатов многократных измерений является однородность выборки (принадлежность всех результатов одной и той же генеральной совокупности). Если в выборке имеются результаты, явно выходящие за границы, обусловленные условиями эксперимента, то их надо из выборки исключить. Такие резко отличающиеся от остальных результаты измерений называются промахами (грубыми погрешностями измерений).

Для поиска промахов используется процедура «цензурирования выборки», основанная на формальных критериях. Существует ряд таких критериев, простейший из которых известен как «правило трех сигм». В соответствии с этим правилом вычисляется оценка среднеквадратического отклонения результата измерения:

(5.1)

где x_i – i-й исправленный результат измерения, – среднее арифметическое исправленного ряда измерений, n – число результатов измерений.

Результаты измерений, для которых выполняется условие

признаются промахами и удаляются из дальнейших расчетов. Это простое и удобное правило является слишком «жестким», поэтому при его использовании есть опасность удалить из выборки правомерный результат.

Существует более квалифицированный критерий, согласно которому проверяется гипотеза о том, что сомнительный результат измерения x_i не является грубой погрешностью. Сомнительными в первую очередь являются наибольший x_макс или наименьший х_мин из результатов измерений. Поэтому для проверки гипотезы пользуются статистикой

или ,

где – оценка среднего квадратического отклонения ряда измерений. Соответствующие функции распределения совпадают между собой и протабулированы для нормального закона распределения результатов измерений.

При заданной доверительной вероятности Р_д = ∝ или уровне значимости q = l – ∝ можно найти те наибольшие значения ν_∝, которые случайная величина ν в принципе может принять по совершенно случайным причинам. Таким образом, если вычисленное по опытным данным значение ν окажется меньше ν_∝, то принимается гипотеза об однородности ряда измерений, в противном случае эту гипотезу отвергают.

Если ряд измерений неоднороден, то результат x_макс или х_мин рассматривают как грубую погрешность и из дальнейшего рассмотрения исключают. Отметим, что в q = l – ∝ доле случаев из ста мы можем допустить ошибку первого рода, т. е. принять за неоднородную выборку, которая на самом деле является однородной. Важно, что удалять промахи из выборки более одного раза не рекомендуется. После удаления промахов обработка результатов измерений ведется обычным образом (см. работы № 1.3 и № 1.4).

Подчеркнем, что упомянутые критерии грубых погрешностей работают только при условии, если распределение результатов измерений подчиняется нормальному закону. При небольшом числе измерений 15 < n < 50 критерий Пирсона не работает и для проверки гипотезы о принадлежности результатов измерений к нормальному распределению можно использовать то, что и коэффициент асимметрии и эксцесс для нормального распределения равны нулю. Эмпирическая оценка Г₁ коэффициента асимметрии находится по формуле:

(5.2)

Эмпирическая оценка Г₂ эксцесса находится по формуле

(5.3)

Степень рассеяния для величин Г₁ и Г₂ может быть приближенно оценена путем сравнения с оценкой среднего квадратического отклонения коэффициентов асимметрии σ_Г1 и эксцесса σ_Г2:

, (5.4)

. (5.5)

Распределение считают нормальным, если одновременно выполняются соотношения:

; (5.6)

. (5.7)

В случае если число результатов измерений n <15, принадлежность их к нормальному распределению с помощью критериев согласия не проверяют.