Понятие принадлежности и основные операции для нечетких подмножеств

Рассматривать понятие принадлежности для нечетких подмножеств начнем с примера. Обратимся к выражению (1.24). В нем, как было отмечено, функция принадлежности m принимает только значения 1 и 0. Представим теперь, что m может принимать любое значения из интервала (0,1). Тогда степени принадлежности элемента x_i к нечеткомуподмножеству А могут быть записаны следующим образом:

– x_i не принадлежит к А, m_А(x_i) = 0;

– x_i в небольшой степени принадлежит к А, m_А(x_i) близко к 0;

– x_i более или менее принадлежит к А, m_А(x_i) равноудалена от 0 и 1;

…

– x_i принадлежит к А, m_А(x_i) = 1.

Тогда А = {(x₁|0,2), (x₂|0), (x₃|0,3), (x₄|1), (x₅|0,8)} будет представлять собой нечеткое подмножество множества Е. Будем записывать AÌ E или A Ì E.

Принадлежность элемента к нечеткому подмножеству можно обозначить следующим образом: x₁ A, x₂ A, x₄ A. Эти обозначения могут быть истолкованы следующим образом:

– x₂не принадлежит к А (m_А(x₂) = 0));

– x₁в небольшой степени принадлежит к А (m_А(x₁) = 0,2));

– x₄принадлежит к А (m_А(x₄) = 1)).

Возвращаясь к обозначениям теории множеств, можно говорить, что

Î – эквивалентно , Ï – эквивалентно .

Определение: Пусть Е – множество, счетное или нет, и х – элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар {(x|m_A(x))} "x Î E, где m_A(x) – характеристическая функция принадлежности,которая принимает свои значения во вполне упорядоченном множестве М и указывает вероятностьпринадлежности элемента х подмножеству А. Множество М будем называть множеством принадлежностей.

Если М = {0,1}, то нечеткое подмножество А переходит в «обычное» четкое подмножество.

Приведем несколько примеров.

Пример 1.3. Запишем нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу n, где n Î R (R – множество действительных чисел) :

А = {…(n – 1|0,8), (n – 0,5|0,9), (n|1), (n + 0,5|0,9), (n + 1|0,8)…}.

Пример 1.4. Пусть N – множество натуральных чисел,

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}.

Рассмотрим нечеткое подмножество «небольших» натуральных чисел:

А = {(0|1), (1|0.8), (2|0,6), (3|0,4), (4|0,2), (5|0), (6|0)…}.

Разумеется, m_A(x) в этих примерах задается субъективно. Последнее выражение можно переписать в виде

0 A, 1 A, 2 A, 3 A,… .