Математические показатели надежности
Рассмотрим основные количественные показатели надежности на следующем примере. Предположим, что наблюдаются n0= 1000 новых однотипных изделий, для которых следует определить параметры надежности. Условно примем, что все изделия начинают работать в момент t=0, по мере отказа изделия не восстанавливаются (например, лампы накаливания) и изымаются из наблюдаемой партии, но к t=1000ч эксплуатации все они выйдут из строя. В течение всего времени функционирования количество работоспособных изделий регулярно подсчитывается в конце каждого временного интервала, исчисляемого Dt=100ч. Наличие работающих элементов к моменту времени ti, представлено в колонке 2 таблицы 4.1.
Таблица 4.1 – Распределение изделий и параметров надежности
| t, ч | np(t) | Dn(Dt) | P(t) | F(t) | F(t)×10-3 | l(t)×10-3 |
| 1,00 | 0,00 | 0.00 | 0,000 | |||
| 0.99 | 0,01 | 0,10 | 0,100 | |||
| 0,97 | 0,03 | 0,20 | 0,202 | |||
| 0,92 | 0,08 | 0,50 | 0,515 | |||
| 0,81 | 0,19 | 1,10 | 1,195 | |||
| 0,55 | 0,45 | 2,60 | 3,209 | |||
| 0,28 | 0,72 | 2,70 | 4.909 | |||
| 0,14 | 0,86 | 1,40 | 5,000 | |||
| 0,06 | 0,94 | 0,80 | 5.714 | |||
| 0,03 | 0,97 | 0,30 | 5,000 | |||
| 0,00 | 1,00 | 0,30 | 10,000 |
Рассмотрим отказ как статистическое событие. При наличии достаточно большой выборки отказ - это случайное событие и в этом смысле носящее вероятностный характер. Именно такая трактовка на отказ как на событие, позволяет применять в теории надежности математический аппарат теории вероятности. В свете таких представлений, если nр(t) - количество изделий, оставшихся в работоспособном состоянии к концу времени t, то nот(t)=N0 - np(t)- количество вышедших из строя изделий к моменту t. В то же время выражение:
Dn(Dt) = nр(t) - np(t+Dt) (4.1)
позволяет рассчитать количество вышедших из строя изделий за интервал времениDt=ti-ti-1=100 ч (колонка 3 таблицы 4.1).
Надежность (или вероятность "выживания") в соответствии с определением вероятности для любого момента времени t [6] в течение испытания выражается отношением:
. (4.2)
Возможна и другая запись уравнения (4.2):
. (4.3)
Величина Р(t) называется вероятностью безотказной работы или функцией надежности. В общем случае P(t) является функцией времени. Для нашего примера величина функции надежности для соответствующего времени t приведена в колонке 4 таблицы 4.1.
Так как событием, нарушающим безотказность работы, является отказ, то, по положению теории вероятности, вероятность отказа выражается формулой:
(4.4)
и называется функцией отказов. Вполне очевидно, так как отказ и факт безотказной работы - взаимоисключающие события, то сумма вероятности их наступления должна быть равна единице, т. е.:
F(t) + P(t) = 1. (4.5)
Значения функции отказов для нашего примера приведены в колонке 5 таблицы 4.1. Записав уравнения (4.3, 4.5) в дифференциальной форме, получим одну из важнейших характеристик в теории надежности – плотность распределения отказов:
. (4.6)
Физический смысл параметра f(t) очевиден - он отражает скорость отказов, отнесенную к первичному количеству элементов, поставленных на испытание. Кроме того, крайне важно знать скорость отказов с учетом реально работающих в данный момент элементов, т.е. величину, определяемую выражением:
. (4.7)
Этот параметр представляет собой интенсивность отказов и с учетом уравнения (4.6) может быть записан следующим образом:
. (4.8)
Иногда уравнения (4.6, 4.8) полезно представить в другом виде:
,
. (4.9)
Уравнение (4.9) удобно для расчета динамики выхода из строя объектов наблюдения при условии, если известно, как изменяется интенсивность отказов. Действительно, оно может быть записано относительно nр(t+Dt):
np(t+Dt) = np(t)×[1 - l(t)×D(t)]. (4.10)
При определенных условиях l(t)=l=const, и если можно назначить интервал наблюденияDt=const, то предыдущее уравнение может быть представлено в виде, удобном для расчетов:
np(t+Dt)= N0×[1 - l×Dt]Z, (4.11)
где z = (t+Dt)/Dt - порядковый номер временного интервала.
Установим связь между описанными выше характеристиками. На основании уравнений (4.6),(4.8) можно записать:
. (4.12)
Перепишем уравнение (4.9) в виде:
. (4.13)
Разделяя переменные, запишем:
. (4.14)
Проинтегрировав, получим:
. (4.15)
Из уравнения (4.6) с учетом уравнения (4.5) можно записать:
. (4.16)
Это означает, что вероятность отказа F(t)за время t равно площади под кривой плотности распределения f(t)в интервале от 0 до t. Если необходимо рассчитать вероятность отказа на каком-либо временном отрезке Dt=t2-t1, то она будет равна:
F(Dt) = F(t1) - F(t2), (4.17)
что может рассматриваться как часть площади под кривой f(t) на участке от t1 до t2.