Общая теория надежности

Общая теория надежности позволяет прогнозировать надежность различных изделий уже на этапе их проектирования, то есть до изготовления готовых образцов. Она основывается на анализе функционирования изделия и выявление условий его отказа. Согласно этой теории в рассмотрение водится функция работоспособности изделия ρ(t) с помощью которой записывается условие работоспособности, выполнение которого гарантирует безотказность изделия.

Например, при оценке вероятности не разрушения элемента конструкции в качестве функции работоспособности можно рассмотреть разность между действующими (σ_д) и допустимыми (σ_доп) напряжениями

ρ(t) = σ_д(t) - σ_доп(t) (1.11)

При этом условие работоспособности примет вид

ρ(t) < 0 ; 0 < t < T (1.12)

где Т – время функционирования изделия.

Условие работоспособности должно выполняться для каждого момента времени t. В данном случае предполагается, что ρ(t) является случайной функцией времени. В некоторых случаях ρ может не зависеть от времени, то есть является случайной величиной. Однако в наиболее общих ситуациях функция работоспособности надо предполагать векторной функцией . При этом под условием работоспособности понимаются принадлежность этой функции некоторой области допустимых значений Д .

(1.13)

В частности, такие ситуации возникают при оценке вероятности безударного движения разделяемых объектов.

Для определенности рассмотрим разделение 2х блоков, представленных на рис 1.4. Из анализа процесса разделения было выяснено, что элемент конструкции блока Б не должны достигать опасной зоны блока В, заштрихованной на рисунке. Допустим наибольшую опасность с точки зрения соударения представляют элементы конструкции блока Б, соответствующие т. А и А ́ (см. рис. 1.4). В дальнейшем будем рассматривать относительное движение точки А в системе координат ХУ с началом в т.О, совпадающей в начальный момент с т.А (рис. 1.5). При этом траектория движения т.А не должна пересекать границу области Д , представленных на рисунке. При построении области Д было учтено, что при движении т. А появляется опасность соударения с ней т. А . Таким образом, траектория движения точки А ограничена не только с верху, но и снизу. В данном случае областью допустимых траекторий т.А является область Д (незаштрихованная на рис. 2.4). Поэтому условия работоспособности, с точки зрения безударности разделения, можно представить в виде

(1.14)

Здесь функция работоспособности есть вектор. После определения условия работоспособности надежность изделия оценивается по соотношению

(1.15)

Как показывают результаты исследований произвести оценку вероятности наиболее просто удается только в тех случаях, когда функция работоспособности является случайной величиной. Для случайных функций (даже одномерных) расчет можно произвести только для узких классов случайных процессов. В частности, даже для стационарных, нормальных процессов определить эту вероятность не удается. Поэтому для практических приложений используется приближенное соотношение, дающая достаточно хорошую точность для высоконадежных систем

(1.16)

где M{N} – среднее число пересечений допустимой области,

μ(t) – среднее число пересечений допустимой области в единицу времени.

Величина μ(t) может быть найдена, если известны характеристики случайного процесса .

В заключении заметим, что для высоконадежных систем величина μ(t) может быть использована для оценки λ(t). Действительно, согласно формальной теории надежности

(1.17)

Разлагая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь линейным членом, получим

(1..18)

Сравнение соотношений (1.17; 1.18) показывает, что можно приближено принять

λ(t) ≈ μ(t) (1.19)

При этом надо помнить, что физический смысл этих параметров совершено различный.

Сложность аналитического представления для μ(t) ограничивает возможность использования этого подхода.

Существенное упрощение расчетов, как в одномерном, так и в многомерном случае дает переход от случайных процессов к случайным величинам. Это оказывается возможным, когда будут найдены моменты времени, соответствующие наиболее тяжелым условиям работы изделия. При этом функция работоспособности анализируется не для всего периода функционирования изделия, а в определенные известные моменты времени. Таким образом, условия работоспособности пишутся в виде

(1.20)

где ρ_i(t_i) – некоторые случайные величины.

Тогда надежность изделия, оцениваемая вероятность выполнения условия (2.20) будет равна

(1.21)

где f(ρ₁… ρ_n) – совместная плотность распределения случайных величин ρ₁, ρ₂,…ρ_n. Для одномерного случая соотношение еще более упроститься:

(1.22)