Подтверждение надежности систем при экспоненциальном законе наработки на отказ
В случае экспоненциального закона распределения надежность можно оценить по соотношению
h = e-λt
где λ – интенсивность отказа; t – требуемое время работы.
Точечная оценка надежности может быть рассчитана по соотношению
( 2.28 )
где
ti – продолжительность i-го испытания до отказа;
к – число испытаний (полных реализаций).
Точечная оценка надежности (2.28) является случайной величиной и не дает гарантированный результат. Поэтому при решении вопросов обеспечения надежности в качестве гарантированной оценки рассмотрим нижний предел доверительного интервала вероятности безотказной работы:
( 2.29 )
где mНt – нижняя граница доверительного интервала для математического ожидания времени безотказной работы.
Согласно определению величина mНt удовлетворяет соотношению
( 2.30 )
где mt – математическое ожидание времени безотказной работы;
β – корректировочный множитель, обеспечивающий выполнение соотношения (2.30); γ – принятый уровень доверительной вероятности.
После эквивалентных преобразований соотношение (2.30) можно представить в виде
 |
Как известно, случайная величина подчиняется χ2 – распределению с 2К степенями свободы, то есть
где χγ2 – квантиль χ2 – распределения по уровню γ.
Значения квантилей для различных уровней 
представлены в табл. 2.1а.
Таблица 2.1а.
Следовательно,
 |
Отсюда
Таким образом, выражение для нижней границы mHt примет вид
( 2.31 )
Аналогично можно получить выражение для верхней границы доверительного интервала
Приравнивая выражения для верхней и нижней границ заданному значению времени работы tзад и разрешая полученное соотношение относительно , получим выражения для нижней и верхней граничных кривых, определяющих области отработки элемента
(2.32)
Величина tзад определяется из условия удовлетворения требований к надежности устройства
Отсюда
Характер изменения граничных кривых по числу испытаний для γ = 0,95 и задаваемые ими области отработки представлены на рис.2.6.
Согласно построению, попадание в верхнюю область «П» характеризует подтверждение надежности, так как для нее выполняется цепочка неравенств
Соответственно, попадание в нижнюю область «Д» показывает невыполнение требований, предъявляемых к надежности изделия, то есть
tзад > mHt > mt
При нахождении в средней области «И» никакого заключения сделать нельзя и испытания следует продолжить.