Арифметика остатков
Зафиксируем некоторое натуральное число 
, которое назовем модулем. Если разность двух чисел 
делится на нацело, то пишут 
и говорят, что числа 
и 
сравнимы по модулю . В этом случае числа и имеют одинаковый остаток от деления на . Если ясно, по какому модулю происходит сравнение чисел и , то просто пишут 
.
Будем использовать 
как обозначение оператора модуля на множестве целых чисел, который вычисляет наименьшее натуральное число, сравнимое с данным по модулю . Например, 
, 
.
Все возможные остатки от деления чисел на образуют множество 
. Очевидно, что 
- множество значений оператора модуля . Некоторые авторы обозначают это множество 
.
Поскольку все сравнимые между собой по модулю целые числа имеют один и тот же остаток, будем считать, что элемент 
изображает целый класс чисел вида 
, где 
. Таким образом, оперируя с целыми числами по модулю , будем считать все сравнимые между собой числа равными друг другу и вместо знака « 
» использовать знак «=».
На множестве есть две основные операции – сложение и умножение. Они определяются обычным путем: если 
и 
, то 
= 
и 
= 
. Например, 
= 
и 
.
Сложение и умножение по модулю работают почти так же, как арифметические операции над вещественными и целыми числами. Они обладают следующими свойствами.
1. Замкнутость сложения: 
: 
.
2. Ассоциативность сложения: 
: 
.
3. Нуль является единичным (нейтральным) элементом по сложению : 
: 
.
4. Всегда существует обратный (противоположный) элемент по сложению: : 
.
5. Коммутативность сложения: : 
.
6. Замкнутость умножения: : 
.
7. Ассоциативность умножения: : 
.
8. Число 1 является единичным (нейтральным) элементом по умножению: : 
.
9. Умножение и сложение связаны законом дистрибутивности: : 
.
10. Коммутативность умножения: : 
.
Определение. Кольцом называется множество 
с двумя операциями (сложение и умножение), которые обладают свойствами 1-9.
Если умножение в кольце окажется коммутативным, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.
Множество остатков с операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом, которое часто называется кольцом вычетов по модулю .