Теоретические сведения. Типовыми динамическими звеньями называются простейшие составные части системы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями

Типовыми динамическими звеньями называются простейшие составные части системы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями 0-2-го порядка:

(2.1)

где - входная переменная звена , -выходная переменная; -постоянные коэффициенты (параметры).

Переходным процессом называется изменение во времени переменных (сигналов) динамической системы или звена: , , обусловленное начальными условиями или входным воздействием.

Переходной функцией системы или звена y=h(t)называется переходный процесс выходной переменной при единичном входном воздействии g=1(t) (рис.2.1) и нулевых начальных условиях..

Рис.2.1

По графику переходной функции может быть определена математическая модель исследуемого динамического звена и ее параметры

Передаточные функции типовых динамических звеньев в общем случае являются произведением сомножителей:

где k, τ, T, υ, ξ - постоянные, причем k>0; υ может быть положительным и отрицательным целым числом; T>0; 0£τ<1; 0£ξ<1.

Перечисленные сомножители определяют различные типы динамических звеньев, среди которых выделяется подкласс позиционных, представленный в таблице 2.1. (p - оператор дифференцирования , s - комплексная величина).

Позиционные звенья, кроме консервативного, характеризуются тем, что в каждом из них при подаче на вход постоянной величины с течением времени устанавливается постоянное значение выходной величины. Отношение установившихся значений выходной и входной величин есть передаточный коэффициент k звена.

В безынерционном (идеальном) звене при скачкообразном изменении входной величины мгновенно изменяется и выходная величина, т. е. переходного процесса нет. В апериодическом (инерционном) звене выходная величина нарастает монотонно, т. е. имеет место переходной процесс. Его продолжительность зависит от постоянной времени Т, являющейся параметром звена.

В апериодическом звене второго порядка продолжительность переходного процесса зависит от двух постоянных: Т₁и Т₂.

Таблица 2.1

Тип звена	Дифференциальное уравнение в операторном виде	Передаточная функция W=W(s)
Идеальное усилительное (безынерционное)	y=kx	W=k
Апериодическое (инерционное)	(Tp+1)y=kx	k W = ---------- Ts+1
Апериодическое (инерционное) второго порядка	(T₂²p²+T₁p+1)y=kx; где T₁ _³ 2T₂	k k W =----------------= -------------------, T₂²s²+T₁s+1 (T₃s+1)(T₄s+1) где T_3,4= 0.5´ (T₁±ÖT₁²-4T₂²)
Колебательное	(T²p²+2xTp+1)y=kx, где 0<x<1	k W = ----------------- T²s²+2xTs+1
Консервативное	(T²p²+1)y=kx;	k W = ---------- T²s²+1

Апериодическое звено второго порядка также можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка.

Выходная величина колебательного звена в переходном процессе колеблется около того значения, которое должно установится. Затухание колебаний зависит от коэффициента демпфирования x. Точнее, скорость затухания характеризуется коэффициентом затухания a=x/T.

Угловая частота колебаний b = Ö1-x²/Т.

Консервативное звено есть частный случай колебательного звена (x=0) и характеризуется незатухающими колебаниями при постоянном воздействии на входе.

Во временной области переходные характеристики описываются выражениями, представленными в таблице 2.2.

Таблица 2.2

N	Тип звена	Переходная характеристика h = h(t)
	Идеальное усилительное (безынерционное)	h = k
	Апериодическое (инерционное)
	Апериодическое (инерционное) второго порядка
	Колебательное	.
	Консервативное

Амплитуда первого положительного выброса переходного процесса в колебательном звене определяется выражением

. (2.1)

А амплитуда первого отрицательного s₂выброса связана с s₁отношением

. (2.2)

При ξ > 1трение в системе, рассеивание энергии, относительно велико и колебательность переходной функции исчезает, функция становится монотонной.

Постоянная времени Т колебательного звена не равна периоду колебаний Т_кол, она связана с периодом, но существенно меньше его:

при ξ < 0.5период затухающих колебаний примерно равен Т_кол ≈ 2 π Т.

По колебательной переходной характеристике звена можно приближенно оценить его параметры (рис 2.2):

уровень успокоения колебаний равен коэффициенту усиления k звена;
постоянная времени приближенно равна Т ≈ Т_кол / 2π
декремент затухания ξ ≈ 3Т / Т_пер, где Т_пер - длительность переходного процесса, определяемая промежутком времени, за которое переходная функция попадает в пятипроцентный коридор.

Рис. 2.2. Переходные характеристики колебательного звена