Распределение Пуассона

Распределение Пуассона, которым описывают поведение дискретных случайных величин, применимо для оценки надёжности ремонтируемых изделий с простейшим потоком отказов, называемым стационарным пуассоновским потоком. Простейшие потокиэто потоки, обладающие свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последствия. Ординарность потока означает, что вероятность появления двух и более событий в один и тот же момент равна нулю. Стационарность потока означает, что вероятность попадания любых событий в промежуток от времени t до времени t + ∆t не зависит от t, а зависит только от длины участка ∆t. Отсутствие последствия заключается в том, что для двух отрезков времени ∆t1 и ∆t2 число событий, попадающих в один из них, не зависит от числа событий, попадающих в другой.

Случайная величина t распределена по закону Пуассо­на, если вероятность того, что она примет определенное значение К на отрезке [0 .. t] выражается формулой [3]:

ΡК(К, t) = (аК / К!) ×ехр(-а), (3.58)

где а - параметр закона Пуассона (математическое ожидание случайной величи­ны t).

Дисперсия случайной величины t,распределенной по закону Пуас­сона, равна ее математическому ожиданию:

Dt = a.(3.59)

Вид распределения Пуассона при различных значениях а показан на рисунке 3.4, а. Интервалы времени между отказами в пуассоновском потоке отказов взаимозависимы и распределены по экспоненциаль­ному закону. Среднее число отказов в интервале [0 .. t] для пуассоновского потока

а = λ × t. (3.60)

Параметр пуассоновского потока отказов

ω(t) = λ, (3.61)

то есть совпадает с интенсивностью отказов экспоненциального распределения.

Если время безотказной работы изделия подчиняется экспонен­циальному закону, то поток отказов восстанавливаемого РЭС яв­ляется пуассоновским и вероятность появления К от­казов на отрезке [0 .. t] определяется формулой Пуассона:

Q(К, t) = [(λ × t)К / К!] × ехр(-λ × t). (3.62)

Если время безотказной работы каждого элемента велико и подчиня­ется экспоненциальному закону распределения, то поток отказов системы, как сумма N простейших потоков, также является простейшим и имеет суммарную интенсивность

(3.63)


При этом должно выполняться условие, что доля каждого элемента в фор­мировании общего потока отказов мала [3].