Определительные ускоренные испытания на надёжность с использованием математических и физических методов прогнозирования

6.6.1 Общие сведения о прогнозировании

Ускоренные испытания ЭС основаны на прогнозировании их состояния и применении форсированных рабочих режимов. Прогноз - это предвидение изменений в развитии каких-либо событий, явлений и процессов на основании полученных данных.

Прогнозирование надёжности - это частный случай расчета надёжности объекта на основе статистических моделей, отражающих тенденции изменения надёжности объектов – аналогов, и (или) экспертных оценок расчёта надёжности. Методы прогнозирования применяют для обоснования требуемого уровня надёжности, для ориентировочной оценки ожидаемого уровня надёжности объектов, для расчета интенсивностей отказов элементов, а также для расчета параметров типовых задач и операций технического обслуживания и ремонта объектов.

В литературе описано более ста методов и приёмов прогнозирования. Эти методы можно разделить на три группы:

- методы эвристического прогнозирования (экспертной оценки),

- методы прогнозирования по статистическим моделям,

- комбинированные методы.

Методы эвристического прогнозирования основаны на статистической обработке независимых оценок значений ожидаемых показателей надёжности (ПН) разрабатываемого объекта (индивидуальных прогнозов), даваемых группой специалистов (экспертов) на основе предоставленной им информации об объекте, условиях его эксплуатации, планируемой технологии изготовления и других данных, имеющихся в момент проведения оценки. Опрос экспертов и статистическую обработку индивидуальных прогнозов ПН проводят общепринятыми при экспертной оценке методами (например, методом Дельфи).

Методы прогнозирования по статистическим моделям основаны на экстра- или интерполяции зависимостей, описывающих выявленные тенденции изменения ПН объектов-аналогов с учетом их конструктивно-технологических особенностей и других факторов, информация о которых известна или может быть получена в момент проведения оценки. Модели для прогнозирования строят по данным о ПН и параметрах объектов-аналогов с использованием известных статистических методов (многофакторного регрессионного или факторного анализа, методов статистической классификации и распознавания образов).

Комбинированные методы основаны на совместном применении для прогнозирования надёжности объектов методов прогнозирования по статистическим моделям и эвристических методов с последующим сравнением результатов [16].

Для прогнозирования надёжности служат следующие исходные данные:

- предполагаемые характеристики, рабочие режимы и условия эксплуатации ЭС;

- допуски на параметры качества, корреляционные связи между параметрами качества процесса изготовления и готовых изделий;

- требования по параметрической надёжности на этапах производства и эксплуатации.

Прогнозирование позволяет заблаговременно добывать сведения о приближающихся параметрических отказах и поэтому оно широко используется в технической диагностике. Основные разработки по прогнозированию сделаны А.Н. Колмогоровым, Н. Винером, К. Шенноном и др. Прогнозирование производится с использованием прошлых наблюдений и базируется “на одном из центральных постулатов физики”, сформулированном К. Шенноном. Суть центрального постулата прогнозирования состоит в предположении, что основные закономерности, наблюдавшиеся в прошлом, будут сохранены в будущем [27].

Укрупненная структура процесса прогнозирования показана на рисунке 6.2. По результатам решения задачи прогнозирования разделяют на одномерные и многомерные. Предсказание изменения величин (наработки на отказ, вероятности безотказной работы) во времени является одномерной задачей. При этих предсказаниях рассматриваются недетерминированные процессы, в которых можно выделить три составляющие:

- детерминированную, поддающуюся точному расчёту,

- вероятностную, выделяемую при длительном наблюдении за изменением анализируемых показателей,

- «чисто» случайную, не поддающуюся предсказанию [36, 37].

По результатам исследования прогнозирование разделяют на прямое и обратное.

При прямом прогнозировании задают последовательные интервалы времени и вычисляют значения параметров-критериев годности (ПКГ) на этих интервалах.

При обратном прогнозировании задают значения ПКГ и допустимые границы их изменения и вычисляют интервалы времени, на которых эти значения выйдут за допустимые пределы.

Чаще применяют обратное прогнозирование. При прогнозировании исследуют функцию состояния S(t) одного образца ЭС во временной области от нуля до t₁ и оцениваю поведение этой функции в области t₂ > t₁ [20].

Решение задачи прямого прогнозирования проиллюстрируем примером.

Пример 6.6 [1].

В интервале времени Δt₁ параметр λ характеризующий состояние РЭС, изменяется, как показано на рисунке 6.3, а. Требуется предсказать изменение этого параметра в последующем интервале времени Δt₂.

Решение.

Как видно из рисунка 6.3 а, из-за негладкости кривой λ(t) получить удовлетворительные результаты прогнозирования затруднительно. Поэтому для выявления закономерности в изменении функции λ(t) построим на рисунке 6.2, б зависимость математического ожидания этой функции от времени, т.е. М[λ(t)] = f(t). Для этого интервал Δt₁ разобьем на элементарные интервалы Δτ, внутри которых и вычислим М[λ(t)].

Полученные таким образом данные позволяют нам построить кривую М[λ(t)] = f(t) в интервале времени Δt₁. Как видно из рисунка 6.3, б, кривая получилась гладкой с четко выраженной закономерностью изменения во времени. Зная эту закономерность в диапазоне Δt₁, можно проэкстраполировать дальнейший естественный ход этой кривой в диапазоне Δt₂. Прогнозируемый участок кривой М[λ(t)] = f(t) изображен на рисунке 6.2, б штриховой линией.

Полученный результат вполне приемлем для первоначальных прикидочных оценок. Аргумент функции, по которому может осуществляться прогнозирование описанным приемом, может быть не только временем, но и любой другой изменяющейся физической величиной (например, частотой, числом срабатываний, температурой и пр.).

Качество прогнозирования во многом зависит от правильного выбора прогнозируемых параметров. Наиболее информативным следует считать такой параметр, который максимально информирует о дефекте, переходящем в ближайшее время в отказ. Процесс прогнозирования оценивают следующими количественными показателями качества прогнозирования: точностью, достоверностью, быстродействием, стоимостью, полнотой, эффективностью и информативностью.

Точность прогнозирования характеризует степень соответствия параметров прогнозирования и имеющих место в действительности и оценивается величиной абсолютной ошибки Δφ, равной разности между значениями прогнозируемой величины φ_П и ее действительным значением φ_Д: Δφ = φ_П - φ_Д. При вероятностном прогнозировании величина Δφ носит случайный характер, поэтому её можно оценить математическим ожиданием М(Δφ), дисперсией D(Δφ), а также вероятностью того, что действительное значение прогнозируемой величины попадает в интервал возможных значений величины φ_П.

Достоверность прогнозирования (другими словами, его надёжность) тесно связана с понятием точности прогнозирования. Разница между ними заключается лишь в том, что при вероятностном подходе точность прогнозирования характеризуется точностью попадания случайной величины φ_П в центр интервала ее возможных значений, а достоверность прогнозирования характеризует лишь сам факт попадания φ_П в этот интервал.

Быстродействие прогнозирования определяется затратами времени, отводимого на прогноз. Быстродействие прогнозирования особенно важно для РЭС, простой которой из-за вовремя не предсказанного и не обнаруженного отказа приводит к большим материальным потерям.

Стоимость прогнозирования определяется затратами материальных средств на процедуру предсказания.

Полнота прогнозирования оценивается отношением числа прогнозируемых параметров к общему числу параметров, определяющих работоспособность изделия.

Эффективность прогнозирования показывает, насколько улучшаются эксплуатационные характеристики исследуемого изделия в результате прогнозирования.

Информативность прогнозирования указывает, насколько увеличиваются наши сведения об исследуемой РЭС результате прогнозирования [1].

В авиационной технике широко используются системы прогнозирования технического состояния (СПТС), подробно описанные в [28], откуда заимствованы краткие сведения об этих системах.

СПТС – это функционирующий в соответствии с заданным целевым назначением комплекс средств, обеспечивающих выработку прогнозов для управления техническим состоянием. Как сложная система СПТС содержит две основных части – функциональную и обеспечивающую. Функциональная часть СПТС включает в себя семь основных частей:

1. Подсистема сбора данных – предназначена для сбора эксплуатационных данных, включая результаты измерения прогнозируемых параметров, время наработки объектов прогнозирования, сведения об отказах оборудования и т.д.

2. Подсистема накопления, хранения и отображения данных – служит для накопления и хранения входных, выходных и циркулирующих в СПТС данных, а также для выдачи их пользователям, к которым относятся люди и программно реализованные подсистемы СПТС.

3. Подсистема предварительной обработки данных преобразует их к виду удобному для последующего прогнозирования, путём изменения размерности и масштаба, учёта режимов работы объекта прогнозирования и индивидуальных характеристик датчиков, выявление и установление грубых ошибок регистрации прогнозируемых параметров и т.д.

4. Подсистема идентификации формирует модели процессов изменения прогнозируемых параметров.

5. Подсистема экстраполяции предназначена для экстраполяции процессов расхода параметрической избыточности.

6. Подсистема выработки решений формирует решения о необходимости и характере управляющих воздействий технической эксплуатации и обслуживания АО.

7. Подсистема координирования служит для корректировки отдельных элементов СПТС и их взаимосвязей на основе накапливаемых априорных сведений о надёжности объектов прогнозирования, статистических свойствах физических процессов, предшествующих возникновению отказов и т.д.

Подсистемы 2, 3, 4 и 5 реализуются на ЭВМ, а каждую из подсистем 6 и 7 можно рассматривать как человеко-машинную, частично реализуемую на компьютере и включающую лицо, принимающее решение (ЛПР).

Организационное обеспечение СПТС следует рассматривать как совокупность неавтоматизированных частей системы, а также совокупность правил и предписаний, определяющих порядок организации взаимодействия СПТС с внешними системами и отдельных подсистем самой СПТС. Оно предназначено для обеспечения взаимодействия ЛПР с техническими средствами и между собой в процессе функционирования СПТС.

Информационное обеспечение СПТС связано с описанием объекта прогнозирования как источника информации, с получением, накоплением, хранением и отображением входной, выходной и циркулирующей в СПТС информации.

Под математическим обеспечением понимается используемый в СПТС математический аппарат, а также комплекс алгоритмов и программ, заложенных в компьютере. Математический аппарат СПТС является основой для разработки алгоритмов обработки информации, на основе которых, в свою очередь, создаются машинные программы.

Техническое обеспечение состоит из комплекса технических средств, связанных единым технологическим процессом преобразования информации в СПТС.

Деление СПТС на функциональные подсистемы в определенной мере условно из-за многообразия связей между подсистемами. Примерами различных способов деления СПТС могут служить укрупненная структура (рисунок 6.4) и приведенный выше состав подсистем. Подсистеме 1 соответствует подсистема сбора информации в укрупненной структуре СПТС, подсистемам 2, 3, 4, 5 – подсистема обработки информации, подсистеме 6 – подсистема принятия решений. Однако подсистема 7 в укрупненной структуре СПТС аналога не имеет. Если некоторые функциональные элементы СПТС могут отсутствовать, то ни один из элементов обеспечивающей части СПТС исключить из нее нельзя без прекращения функционирования всей системы.

6.6.2 Математические методы прогнозирования

Методы прогнозирования надёжности ЭС разделяют на математические и физические. Математические методы прогнозирования, являющиеся наиболее распространенными, подразделяют на детерминированные и вероятностные (стохастические), а также методы, основанные на применении математического аппарата теории распознавания образов. Детерминированный метод прогнозирования применяют при известном характере изменения значений прогнозируемого параметра во времени. Тогда, представив состояние изделия в виде многомерной функции, можно описать его поведение в любой момент времени. Вероятностный метод прогнозирования предполагает определение доверительного интервала значений прогнозируемого параметра в заданном временном интервале, в котором с заданной вероятностью параметр не выйдет за допустимые пределы изменения. Суть методов прогнозирования на основе распознавания образов состоит в следующем. В пространстве имеется множество ярко выраженных областей, характеризующих состояние ЭС во времени. Зная значение параметра изделия в момент времени t₀, можно принять решение о принадлежности его к той или иной области, т.е. распознать образ исследуемого изделия. Все эти методы позволяют прогнозировать состояние ЭС в будущем, контролируя его в настоящий период времени, на основе найденных экстраполяционных связей [20].

Методы прогнозирования на основе распознавания образов, подробно рассмотренные в [1], имеют несколько разновидностей: метод распознавания Байеса, метод последовательного анализа, метод минимального риска, метод наибольшего правдоподобия. Их изложение достаточно большое по объёму. Поэтому мы рассмотрим лишь два последних метода, описание которых заимствовано из [1].

Вначале рассмотрим метод минимального риска. Условимся характеризовать исправное состояние РЭС диагнозом D₁, неисправное состояние - диагнозом D₂. При распознавании состояния РЭС при постановке диагноза могут быть допущены два рода ошибок. Ошибками первого рода называют такие, когда ставится диагноз D₂ вместо D₁, т.е. исправную РЭС относят к неисправной. Эти ошибки часто называют ложной тревогой или риском поставщика. Ошибками второго рода называют такие, когда для неисправной РЭС с состоянием D₂ ставят диагноз D₁, т. е. считают ее годной. Эти ошибки называют пропуском цели или риском заказчика. Естественно, что такого рода ошибки являются более опасными. Поэтому ошибки первого и второго рода имеют различные цены (веса). Будем полагать, что процесс распознавания состояния РЭС осуществляется при наличии одного диагностического признака, проводить дифференциальную диагностику и считать, что априорные вероятности диагнозов P(D₁) и P(D₂) известны из предварительных (собранных до прогноза) статистических данных.

В методе минимального риска решающее правило принятия решения выбирается исходя из условия минимума риска. Обозначим диагностируемый параметр через х. Тогда задачу распознавания можно сформулировать так: необходимо выбрать граничное (оптимальное) значение параметра х, равное х₀, такое, чтобы при х < х₀ диагностируемая РЭС находилась в исправном состоянии, а при х > х₀ выходила из строя и снималась с дальнейшей эксплуатации. Очевидно, что решающее правило для постановки диагноза будет при этом следующим:

при х < х₀ x Î D₁ , при х > х₀ x Î D₂. (6.22)

Обозначим возможные решения, которые в принципе могут быть приняты в соответствии с решающим правилом (6.22), через Η_ij (i, j = 1, 2). Будем при этом считать, что i означает поставленный диагноз, а j - действительное состояние системы. Правильными решениями будут Н₁₁ и Н₂₂ (т.е. когда поставленный диагноз совпадает с действительным). Решение Н₁₂ означает пропуск цели, а Н₂₁ - ложную тревогу.

Вычислим вероятности принятия неправильных решений Р(Н₁₂) и Ρ(Н₂₁). Очевидно, что они будут равными произведению вероятностей двух событий: наличия неисправного состояния и значения х < х₀ и наличия исправного состояния и значения х > х₀ соответственно:

(6.23)

(6.24)

где P₁ = P(D₁) и P₂ = P(D₂) - вероятности априорных диагнозов; Р(х < х₀ / D₂) и Р(х > х₀ / D₁) - вероятности исправного и неисправного состояний в соответствии с решающим правилом (6.22). Будем считать, что цена (вес) принятия неправильного решения Р(Н₁₂) - пропуска цели - равна С₁₂, а цена решения Ρ(Н₂₁) - ложной тревоги - С₂₁. Тогда средний риск принятия решения R будет равен сумме вероятностей возможных ошибок с учетом их весов, т.е.

R = С₁₂ × Р(Н₁₂) + С₂₁× Ρ(Н₂₁) (6.25)

(обычно С₁₂ >> С₂₁). Обозначим цены правильных решений Н₁₁ и Н₂₂ через С₁₁ и С₂₂ соответственно. Чтобы отличить от стоимости потерь, их обычно считают отрицательными. С учетом сказанного выражение среднего риска может быть уточнено:

(6.26)

Иногда цены правильных решений С₁₁ и С₂₂ полагают равными нулю, т.е. не учитывают как, например, в (6.25). Рассмотрим математическое содержание метода минимального риска. Из условия получения минимума среднего риска R_min определим граничное значение х₀ диагностируемого параметра х в решающем правиле (6.22). Необходимое и достаточное условие достижения R_min в точке х = х₀ выражается неравенством

(6.27)

Для получения выражения (6.27) в явном виде определим сначала условие существования экстремума функции (6.26), т.е. решим уравнение вида

(6.28)

С учетом (6.26) оно запишется

(6.29)

или

(6.30)

Пусть плотности распределения f(х / D₁) и f(х / D₂) подчинены нормальному закону и имеют по одному максимуму (рисунок 6.5). Искомое оптимальное значение х₀, доставляющее минимум функции риска R, будет располагаться на рисунке 6.5 между центрами х₁ и х₂ распределений f(х / D₁) и f(х / D₂), т.е.

х_1СР < х₀ < х_2СР. (6.31)

С учетом положения x₀ теперь можно утверждать, что условие (6.27) приводит к необходимости выполнения следующего неравенства относительно производных плотностей распределения:

(6.32)

Заметим, что (6.32) всегда выполняется, так как в правой части неравенства стоит положительная величина, а слева отрицательная. Это объясняется тем, что С₁₂ > С₂₂, a С₂₁ > С₁₁ и при х > х₁ производная f'(х₀/D₁) < 0, а производная f '(х₀/ D₂) > 0 вплоть до х₀ < х_2СР (см. рисунок 6.5).

Запишем решающее правило метода минимального риска с использованием отношения правдоподобия (6.30) и условия (6.22):

x Î D₁, если f(х/D₁) / f(х/D₂) > P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)]; х < х₀; (6.33)

x Î D₂, если f(х/D₁) / f(х/D₂) < P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)]; х > х₀; (6.34)

Пороговым значением отношения правдоподобия считают величину

λ = P₂(С₁₂ - С₂₂) / [P₁(С₂₁ - С₁₁)]. (6.35)

Если цены принятия правильных решений С₁₁ и С₂₂ не учитывают, т.е. считают их равными нулю, то выражение (6.35) принимает вид

λ = P₂С₁₂ / (P₁С₂₁). (6.36)

Используем метод минимального риска при решении диагностической задачи.

Пример 6.7 [1].

В преобразователе частоты при нормальной работе в состоянии D₁ среднее значение частоты F_СР = 400 Гц, а ее среднеквадратическое отклонение σ = 15 Гц. При неисправном D₂ состоянии преобразователя F₂ = 430 Гц, а σ₂ = 50 Гц. Из статистических данных известно также, что у 5% таких преобразователей при эксплуатации наблюдаются отказы. Требуется определить предельную частоту F₀ преобразователя, при которой еще можно продолжать его эксплуатацию, имея в виду, что отношение стоимости пропуска цели С₁₂ к стоимости ложной тревоги C₂₁ равно 50.