Обращение матриц
Матрица X является обратной по отношению к заданной квадратной матрице A, если их произведение дает единичную матрицу E :
| A . X = E. | (4.18) |
В единичной матрице элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0.
Как известно, произведение двух квадратных матриц A и X порядка n дает квадратную матрицу C того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
| (4.19) |
Алгоритм обращения матриц, т.е. вычисления элементов матрицы X, удовлетворяющих матричному уравнению (4.18), рассмотрим на примере матриц третьего порядка:
 ;
|  ;
| 
|
Уравнение (4.18) с учетом формулы (4.19) для этих матриц имеет вид:
| a11 x11+a12 x21+a13 x31 | a11 x12+a12 x22+a13 x32 | a11 x13+a12 x23+a13 x33 | 1 0 0 | |
| a21 x11+a22 x21+a23 x31 | a21 x12+a22 x22+a23 x32 | a21 x13+a22 x23+a23 x33 | = | 0 1 0 |
| a31 x11+a32 x21+a33 x31 | a31 x12+a32 x22+a33 x32 | a31 x13+a32 x23+a33 x33 | 0 0 1 |
Фактически здесь записаны три СЛАУ третьего порядка:
| a11 x11 + a12 x21 + a13 x31 | = | ||
| 1) | a21 x11 + a22 x21 + a23 x31 | = | |
| a31 x11 + a32 x21 + a33 x31 | = |
| a11 x12 + a12 x22 + a13 x32 | = | ||
| 2) | a21 x12 + a22 x22 + a23 x32 | = | |
| a31 x12 + a32 x22 + a33 x32 | = |
| a11 x13 + a12 x23 + a13 x33 | = | ||
| 3) | a21 x13 + a22 x23 + a23 x33 | = | |
| a31 x13 + a32 x23 + a33 x33 | = |
Их особенностью является то, что все три системы имеют одну и ту же матрицу коэффициентов при неизвестных, а именно матрицу А.
Итак, чтобы найти матрицу X, обратную к заданной матрице А порядка n, надо решить n систем линейных уравнений, матрицей коэффициентов которых является исходная матрица А, а вектор-столбцами свободных членов являются столбцы единичной матрицы E.
При использовании метода Гаусса решения этих n систем прямой ход можно осуществить одновременно для всех систем. Расширенная матрица при этом будет иметь порядок n х 2n; ее левая половина есть матрица А, правая - матрица E.