Интерполяция сплайнами

При большом количестве узлов и, соответственно, при высокой степени аппроксимирующего полинома полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты, потому что в определенных ситуациях возникает так называемое "явление волнистости", из-за которого аппроксимирующая функция, несмотря на выполнение условий Лагранжа в узлах, может давать значительные отклонения от аппроксимируемой кривой между узлами. При этом повышение степени полинома приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

В этих условиях хороший эффект может дать интерполяция, основанная на теории сплайн-функций. Слово spline по-английски означает рейка, линейка. Этот термин возник из опыта работы чертежников, которые для проведения гладких кривых через точки на плоскости используют упругую линейку, совмещая ее с заданными точками. Из условий упругости недеформируемой линейки установлено, что между соседними узлами линейка проходит по линии, удовлетворяющей условию:

^IV(x) = 0,

(5.7)

где ^IV - четвертая производная от функции (x).

Самой простой кривой, удовлетворяющей этому условию, является полином третьей степени, поэтому в сплайновой аппроксимации наиболее распространенным является применение кубических сплайнов. В отличие от полиномиальной аппроксимации, когда вся аппроксимируемая функция описывается одним полиномом, при интерполяции кубическими сплайнами на каждом интервале [x_i-1,x_i] строится отдельный полином третьей степени со своими коэффициентами. Как было отмечено выше, для однозначного построения кубической параболы необходимо задание четырех точек на плоскости. При построении каждого i-го сплайна ( i=1,2,...,n ) известны только две точки x_i-1 и x_i; поэтому кроме условий Лагранжа для этих точек

,
	(5.8)
;	i = 1,2,...,n

необходимо задание еще двух каких-то условий. Ими является "гладкость" перехода с одного полинома на соседний, выражаемая как непрерывность первой и второй производной от сплайнов в узлах:

,
	(5.9)
;	i = 1,2,...,n-1.

Условия (5.9) можно задать только для внутренних узловых точек таблицы x₁,...,x_n-1. Поэтому нужны еще дополнительные условия для концевых точек интервала аппроксимации x₀ и x_n. Обычно здесь используются условия свободных концов сплайнов (линейка не закреплена в точках вне интервала [ x₀ , x_n] и, следовательно, описывается там уравнением прямой, т.е. полиномом первой степени). Значит для концов интервала должны выполняться условия

= 0,
	(5.10)
= 0.

Условия (5.8), (5.9), (5.10), расписанные для каждой узловой точки, дают систему из 4n линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов всех n сплайнов (по 4 коэффициента на каждый сплайн). Данная система после некоторых преобразований приводится к так называемому трехдиагональному виду, т.е. ее матрица имеет ненулевые элементы только на главной диагонали и двух примыкающих к ней диагоналях. Для решения таких систем применяется специальный метод, называемый методом прогонки и являющийся частным случаем метода Гаусса.