Идеал сйытытаы гидродинамикалы ысым

Дріс. Идеал сйытытар динамикасыны негізгі тедеулері. Сйыты пен газ физикасы есептеріні жалпы ойылымы. Сыылмайтын жне сыылатын сйыты жадайлары. Баротропты жне бароклиндік. Энергия йылу тедеуі.

Массалы жне беттік кштері.Сйытыта, тйы бетпен шектелген кейбір клемін бліп аламыз (4.1 сур.). Сйытыты блінген клеміне сер ететін кштерді екі класа блуге болады.

z n

0 y

4.1 сур. Сйытыты блінген клеміне беттік кштерді cер ету слбасы.

Бірінші класа біздер клемні р элементіне сер ететін, клемні асында сйытыты баса блшектері бар немесе жо болатынына туелсіз кштерді жатызамыз. Бл кштерді біздер массалы немесе клемдік деп атаймыз. Егер арылы, массаны бірлігіне атынасты, массалы кштерді векторын атаса, онда тыыздыы сйытыты клем элементіне массалы кші сер етеді; бкіл клемге сер ететін массалы кштерді бас векторы, клемі бойынша таратылан векторлы интегралымен рнектеледі, ал бас векторды Оx, Oy, Oz декарт координаталар осьтеріне проекциялары сйкес болады:

мнда - векторды проекциялары.

Координаталар басына атысты, клеміне сер ететін (тсірілген) массалы кштеріні бас моменті векторлы интегралымен рнектеледі, мнда - блшекті радиус-векторы; бас моменті Оx, Oy, Oz декарт координаталар осьтеріне проекциялары келесі интералдара сйкес болады:

Ауырлы кші, инерция кші жне басалары массалы кшіні мысалдары болып табылады.

Екінші кштер класына арастырып жатан клеміне сер ететін, біздер сйытыты р трлі блшектеріні арасындаы бір – бірімен сер ететін кштерді жатызамыз. рекет жне арсы рекет тедік принципі бойынша клеміні барлы ішкі блшектеріні арасындаы бір – бірімен сер ету кштері тепе –тедікке келеді, тек клемні беттік блшектеріне сер ететін кштер, бетті сыртында жатан блшектерден пайда болатын, тепе –тесіздікте болуы ммкін. Осындай кштерді беттік деп атайды. Егер арылы аудан бірлігіне атынасты, беттік кш векторын белгілесек, онда бетті элементар ауданында клемге, сырты блшектерден пайда болатын кші сер етеді; табасы векторы элементар ауданны баыттауынан (бадарлауынан) туелді екендігін крсетеді, яни сырты нормаль баытынан.

клемге сер ететін, беттік кштерді бас векторы жне бас моменті, бкіл тйы бет бойынша таратылан интегралдарымен рнектеледі:

жне .

озалысты жалпы тедеуі. Кез келген материалды жйені р озалыс стінде осыан сер ететін барлы кштер, инерция кшін жне осканда, бір – бірімен тепе – тедікте болады деп айтылатын Даламбер принципін олданайы, сонда

(4.1)

мнда - элементті деуі; сонда - инерция кшіні бас векторын рнектейді.

Идеал сйытытаы гидродинамикалы ысым

Идеал сйытыта йкеліс кштері байалмайды, жне кішкене нормаль созылу сйыты ттастыыны зілуіне келеді; демек идеал сйытыты клеміні бет элементтеріне сер ететін беттік кштері, клем ішіне баытталан нормаль кысымдар болып табылады; басаша айтанда векторы элементке ішкі нормаль бойымен баытталан. Идеал сйыты шін осы вектор шамасы ауданны баыттауынан туелсіз екендігін крсетеміз. Ол шін сйытыта КАВС (4.2 сур.) элементар тетраэдраны клемін арастырайы, оны ш жаы КВС, КАС жне КАВ координаталар жазытытарына параллель, демек сырты нормальдары осы жатара Ох, Оy жне Оz остеріне сйкес кері баытталан; одан рі арылы тртінші АВС клбеу жаына сырты нормальді координаталар остерімен пайда болан брыштарды косинустерін белгілейік; енді соында АВС жаты ауданы -ке те болсын, сонда КВС, КАС, КАВ жатарды аудандары, ауданны проекциялары болып, сйкес болады.

(4.1) тедеуді тетраэдраны клеміне пайдаланса, аламыз:

(4.2)

С n

4.2 сур. Тетраэдраны элементар клеміне беттік кшті сер ету слбасы.

ескереміз жне арылы тетраэдраны KD биіктігін белгілеп, аламыз

Сондытан -ке ысартаннан кейін (4.2) тедеуі мына трге келеді:

бдан кезінде шекке тіп, беттік кштерді негізгі асиетіне келеміз:

, (4.3)

Бл асиет сырты нормальді кез келген баытта боландаы векторын, негізгі ш векторлары берілгенде анытауа болатынын крсетеді. векторлары элементар аудандар шін, оларды сырты нормальдары ОХ, ОY, OZ стерімен параллель жне бірдей баытталан жадайдаы беттік кштерді рнектейді. (4.3) формуласымен рнектелетін асиет, элементар ауданны р трлі баыттауда боландаы алынатын векторларды жиыны тензор райды екенін крсетеді; ол серпімді кернеулер тензоры деп аталады.

Кез келген сйытыа ділетті (4.3) формуланы идеал сйыты жадайда олданайы. Бл жадайда векторлары сырты нормальдара кері баытталан болады жне (4.3)-ті Ox, Oy, Oz стеріне біртіндеп проекциялап, аламыз:

бдан

, (4.4)

яни идеал сйыты шін нормаль ысым шамасы элементар ауданны, зі соан сер ететін, бадарлауынан (баыттауынан) туелсіз болады. Осыан байланысты баытты крсетпей, белгідегі табаны алып тастауа болады жне гидродинамикалы ысым аудана ішкі нормаль бойымен баытталан екенін мытпай.

Идеал сйыты озалысыны жалпы тедеулері. (4.1) тедеуі идеал сйыты жадайда мына трге келеді:

(4.5)

жне гидродинамикалы ысым векторы бетке ішкі нормаль бойымен баытталан. Сырты нормальді ортын арастыра отырып, аламыз: жне алдындаы тедеу мына трге келеді:

. (4.6)

Соы интеграла Гаусс трлендіруін пайдаланып, аламыз:

арастырып жатан клемі кез келген боландытан, сйыты р нктесінде жне озалысты кез келген стінде интеграл ішіндегі рнек нлге те болуы керек. Сондытан, идеал сйыты озалысыны негізгі тедеуіне келеміз:

. (4.7)

немесе проекцияларда:

(4.8)

Эйлер тріндегі озалыс тедеулері.Кинематикалы формулалар бойынша Эйлер айнымалыларында деу проекцияларын рнектеп:

жне (4.8) тедеулерді арылы шешіп, Эйлер гидродинамикалы тедеулерін аламыз:

, (4.9)

Сйыты пен газ физикасы есептеріні жалпы ойылымы. Сыылмайтын жне сыылатын сйыты жадайлары. Баротропты жне бароклиндік. Энергия йылу тедеуі.

Материалды блшектерді жиыны ретінде сйытыты арастырайы (кеістікті немесе оны блігін ттас толтыратын). Блшектерді арасында гидродинамикалы кші арылы идеал сйытыты рнектейтін, бір – бірімен сер ететін ішкі кштері пайда болады. Сйыты пен газ физикасы есептеріні жалпы ойылымын былайша тжырымдауа болады: берілген сырты кштерді серінен р блшекті озалысын жне ішкі кштерді, яни гидродинамикалы ысымды, сйытыты р нктесінде жне озалысты р стінде анытау керек.

Сыылмайтын жне сыылатын сйыты жадайларды блек арастырамыз, екі жадайда да сйытытыны идеал жне арапайым шін біртекті деп есептейміз.

Сыылмайтын сйыты жадайы.Сыылмайтын сйытыта тыызды , сйытыты берілген сортына физикалы сипатамасын беретін, траты болады жне белгілі деп есептеледі. Эйлер тедеулерін алып, мнда трт белгісіз шамалар бар екенін байаймыз: - трт дифференциалды тедеулер жйесінен:

, (4.10)

Егер бл жйені интегралдауа ммкіндік болса, онда р уаыт стінде жылдамдыты векторлы рісі жне ысымны скаляр рісі аныталатын болады, яни (4.10) жйесін анааттандыратын функциялары

табылатын болады. Есепті соына дейін жеткізу жне р блшекті озалыс тедеуін, яни блшек координаталарыны уаыттан жне координаталарды бастапы мндерінен байланысын анытау шін таы ш тедеу жйесін

(4.11)

интегралдау ажет.

Сыылатын сйыты жадайы. Баротропты жне бароклиндік. Энергия йылу тедеуі.

Енді сыылатын сйыты озалысын анытау есебіне кшімез. Математикалы те арапайым сол дербес жадайы болады, ашан барлы озалыста тыызды алдын ала белгілі ысым функциясы болса, яни

. (4.12)

Тыыздыы тек бір ысымнан туелді функция болатын орталарды баротропты деп атайды. Баротропты сйытытарды зіксіздік тедеуі

жне (4.11)-ді бірінші ш озалыс тедеулері тйыталады, йткені осы трт тедеулерге ажетті трт ізделетін функциялары кіреді, себебі белгісіз шамалар ретінде жне алдырып, (4.3) пайдалана отырып тыыздыты арастырмауа болады.

шін е арапайым мысал заы болады. Бл сыылмайтын сйыты жадайы.

озалыстарды изотермиялы озалыстар деп атайды, мнда – траты.

Егер , онда политропты процестер туралы айтады жне шама политропты крсеткіші деп аталады, мнда жне - тратылар. Баротропты сйытытар шін осындай е арапайым жне жиі олданылатын функцияларды трлері.

Тыыздыы тек жалызана ысым функциясы болмайтын, яни олара ішандай (4.12) орындалатындай функциясы табылмайтын орталарды бароклинды деп атайды. Мнда тыызды , аныталатын, бесінше белгісіз шама болып табылады жне сондытан бізді трт тедеуіміз (зіксіздік тедеу жне озалысты ш тедеуі) есепті шыару шін жеткіліксіз.

Жалпы бароклинды сыылатын сйыты жадайда, озалысты зерттеу шін энергия йылу (келу) деген жаа факторды ескеру ажет екен. Бл жадай екі жаа шаманы арастыруа енгізеді: сйытыты температурасы (абсолюттік) жне энергия йылуыны жылу уатыны тыыздыы, яни сйыты клем бірлігіні уаыт бірлігінде алатын энергия млшері.

Энергия йылу тедеуі мына трде жазылады:

, (4.13)

мнда - траты клемдегі жылусыйымдылы, - жмысты термиялы эквиваленті ( , мнда -жылуды механикалы эквиваленті).

(4.13) тедеуден баса жне байланыстыраты таы да бір араатысты жазуымыз керек. Кемелденген газдар шін осындай араатыс Клайперон тедеуі болады.

, (4.14)

мнда - газ тратысы.

Сонымен бізде алты тедеулері бар : зіксіздік тедеуі, озалысты ш тедеуі, энергия йылу тедеуі жне (4.14) кй тедеуі. Осы тедеулерге керекті алты белгісіз шамалар кіреді. кініш орай (4.13)-ке кейбір жадайда белгілі деп есептей алмайтын шама кіреді. Сырттан жылу келу жоы е арапайым жне маызды жадай болып табылады, яни