алыптасан йынсыз озалысы. Торичелли формуласы. Газдарды кішкене тесіктен ауы

Дріс. Идеал сйыты озалысыны е арапайым жадайлары. Бернулли мен Коши интегралдары. алыптасан йынсыз озалысы. Торичелли формуласы. Газдарды кішкене тесіктен ауы.

алыптасан озалыс. Сйытыты екі е арапайым жадайларында идеал сйыты озалысыны дифференциалды тедеулері интегралдарды береді: 1. алыптасан жадайда жне 2. йынсыз озалыста.

алыптасан озалыс жадайын арастырамыз. Бл жадайда озалыс режимі сйытыты р нктесінде уаыт ткен сайын згермейді, жне жылдамды рісі, йын рісі, гидродинамикалы ысымдар рісі, массалы кштер рісі траты немесе стационар болады. Ток сызыы алыптасан озалыста блшектерді траекторияларымен сай келеді.

Негізгі озалыс тедеуді ток сызыын жаалай сйы блшекті элементар орын ауыстыруына скаляр кбейтіп, аламыз:

немесе

алыптасан озалыста боландытан, рнек толы ди фференциал болады жне жазуа болады.

Бл тедеуді, екі шарт орындалан жадайда оай интегралдауа болады : 1) егер массалы кштерді потенциалы болса, оны арылы белгілейік, сонымен

, ,

жне 2) егер сйыты баротропты болса. Бл жадайда аламыз:

мнда

(5.1)

жне барлы дифференциалдар блшекті орын ауыстыру кезінде кейбір ток сызыын жаалай алынан, немесе басаша айтканда

осыдан Бернулли деп аталатын, интегралды аламыз:

, (5.2)

мнда берілген ток сызыында траты мн сатайтын, бірата, жалпы айтанда бір сызытан баса сызыа ткенде згеретін шама болып табылады.

Егер массалы кштері ретінде ауырлы кштері болса, онда Оz сін ветикаль жоары баыттап, аламыз: ,

жне Бернулли интегралы трінде болады.

Сыылмайтын сйыты шін (5.1) формула бойынша аламыз:

-а бліп жне белгі енгізіп, Бернулли интегралын таы да мына трде жазамыз:

. (5.3)

(5.3) тедеудегі бірінші осылыш берілген ток ттікшеде арастырып жатан сйы блшекті кейбір горизонталь бет стінен биіктігін рнектейді жне геометриялы биіктік деп аталады. Екінші осылыш бастапы жылдамдыпен жоарыа латырылан материалды нктені бостыта жоары ктерілетін биіктігін рнектейді, бл осылыш жылдамдыты биіктік деп аталады. Аырында, шінші осылыш, баана тбіндегі ысым болатындай, тыныш алпындаы сйыты баанасыны биіктігін рнектейді; бл осылыш пьезометриялы биіктік деп аталады.

Сонымен, Бернулли интегралы сыылмайтын сйытыты алыптасан озалысында геометриялы, жылдамдыты жне пьезометриялы биіктіктерді осындысы осы ток ттікшені блшектері шін згермей алады екенін рнектейді, бл таы да былай жазылуы ммкін:

, (5.4)

Изотермиялы озалыста

сондытан (5.2) Бернулли интегралы тріне келеді.

йынсыз озалыс.Егер озалыс уаытында сйытыты жылдамды рісіні р нктесінде йын болмаса, яни жне, демек жылдамды потенциалды вектор болып табылады, сонымен , , , онда негізгі озалыс тедеуі арапайым тріне келеді:

. (5.5)

айын боландытан, (5.5) тедеуден аламыз

. (5.6)

Сыылмайтын сйыты шін, рісті барлы нктесінде траты боландытан, айын атыс орынды болады

, (5.7)

Сыылатын сйыты шін сйыты баротропты болан жадайда ксас атыс табуа болады. Бл жадайда белгі енгіземіз

немесе , (5.8)

сонда жазуа болады:

, (5.9)

себебі (5.8) – ден аламыз:

Дифференциалдардаы коэффициенттерді салыстырып, аламыз

; ; ,

бдан (5.9) шыады; (5.7) тедеуі (5.9)-ды дербес жадайы болады.

Сонымен, йынсыз озалысты арастырып жатан жадайларына (5.6) тедеуі

тріне келеді, яни осы жадайларда массалы кштер потенциалды вектор болу керек. Кштерді потенциалын арылы белгілеп, яни , (5.6) озалыс тедеуді

(5.10)

трге келтіреміз. Соы тедеу жашаларды ішіндегі рнек координаталарынан туелсіз жне тек уаытты функциясы екендігін крсетеді:

, (5.11)

озалыс тедеулерді осы интегралы Коши интегралы деп аталады. Тек ауырлы кші болан жадайда Коши интегралы

. (5.12)

трге келеді.

Сыылмайтын сйыты шін болады жне Коши интегралы

. (5.13)

трінде алынады.

алыптасан йынсыз озалысы. Торичелли формуласы. Газдарды кішкене тесіктен ауы.

алыптасан йынсыз озалыста жылдамдытар рісі жне ысым рісі траты (стационар) болады, сондытан , кез келген функциясы кез келген С тратыа айналады, жне Коши интегралы

(5.14)

тріне келеді, мнда .

Сыылмайтын сйыты жадайда (5.1) тедігі былай жазылады:

(5.15)

немесе -а блгеннен кейін:

, (5.16)

мнда ; біз Бернулли интегралымен трі сай келетін тедік аламыз. Соысынан айырмашылыы мынада болады: Бернулли интегралындаы тратысы тек бір ток сызыында траты болады, ал алыптасан йынсыз озалыстаы интегралда С тратысы озалыстаы сйытыты барлы блшектерінде бір мн сатайды. (5.14), (5.15), (5.16) интеграл трі Бернулли – Эйлер интегралы деп аталады.

Жылдамдыа ойылан шектеулер.Бернулли, Коши, Бернулли – Эйлер интегралдары болуы жылдамдыты шамасына, озалыстаы сйыты ттастыты зілуге келмей одан аса алмайтын белгілі шек ояды. Мысалы, ауыр сыылмайтын сйытыты алыптасан йынсыз озалысын арастырайы.

рісті биіктіктегі кейбір нктесінде жылдамды жне ысым сйкес те болсын; сонда (5.16) интегралы

трінде болады, осыдан .

Соы араатыс шамасы, ысым идеал сйытыта теріс болмайтындытан, сйытыты ешбір нктесінде мыты лкен болмайтынын крсетеді. Мысалы сол биіктіктегі нктелерге тесіздік алынады, бдан жылдамдыты шамасы шін шек табамыз:

Егер, мысалы, лкен ыдыста тран су тек атмосфералы ысым серінен бостыа аып жатса, онда ыдысты бетіндегі шаманы нлге жаын деп алуа болады жне ау жылдамдыа шектеулік шарты алынады

Торичелли формуласы.Гидравликалы сратарда Бернулли интегралыны тере маызы бар. Сыылмайтын ауыр сйытыты лкен ашы ыдыстан кішкене тесік арылы ау жылдамдыын анытау шін оны олданамыз. Егер арылы ыдыстаы еркін бет ауданы, арылы тесікті ауданы, жне арылы бет жне тесіктегі жылдамдытарды белгілесек, онда зіксіздік тедеуі береді:

озалысты алыптасан жне йынсыз деп есептейік. Егер координаталар басын еркін бетінен алса жне Оz сін вертикаль тмен баыттаса, онда Бернулли – Эйлер интегралын олданып, аламыз

, (5.17)

z тередіктегі тесікте ысым атмосфералы ысыма те боландытан, мнда аып жатан сйыты таы да еркін бетін рады. (5.17) тедіктен аламыз немесе ,

осыдан .

Егер атынасы кішкене болса, онда мшесін ескермей, ау жылдамдыы шін жуы Торичелли формуласын аламыз

Газдарды кішкене тесіктен ауы.Газдарды лкен ыдыстан кішкене тесік арылы ау жылдамдыын баалау шін састы жуы формуласын алуа болады. Ыдыстаы газды ысымы мен тыыздыы те болсын, арылы атмосфералы ысым жне ауа тыыздыты белгілейік. Ауды алыптасан жне сонымен бірге йынсыз озалыс ретінде арастыруа жне ыдысты ішінде тесіктен жеткілікті ашытыта газды жылдамдыын ескермеуге болатындай, ыдысты лшемдерін жеткілікті лкен деп есептейік.

Одан рі тесіктен газды лаюы адиабатты теді деп есептеп, ауырлы кшін ескермей жне оалыс интегралын екі нктеге – ыдыс ішіндегі жылдамдыы те аз нктеге жне тесікке олданып, аламыз

, (5.18)

мнда , .

(5.18) тедеуден аламыз:

Жаттыу. Жінішке конусты ттікшеден газды алыптасан йылуында блшектерді траекториялары, конусты тбесінде жинаталатын, сызытар болып табылады. озалыс изотермиялы теді деп есептеп, АВ жне аb, аудандары S пен s болатын, ималарындаы жне жылдамдытар арасындаы араатысты табу керек (5.1).