Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
1) Пусть 
и 
— бесконечно малые при 
.
1. Если 
, то говорят, что 
является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с 
. В этом случае пишут 
.
2. Если 
, где 
—число, отличное от нуля, то говорят, что и — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если 
, то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись ~ означает, что и —эквивалентные бесконечно малые.
Если 
, то это означает, что 
. Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е. 
3. Если 
и —бесконечно малые одного и того же порядка, причем 
, то говорят, что бесконечно малая имеет порядок 
по сравнению с .
Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин:
1o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если 
, то 
и 
.
2o. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность 
является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т. е. если , .
3o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если
, ~ 
, ~ 
, то 
.
2) Б.м. функции 
и 
называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при 
, если 
Обозначают: 
при .
Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Пусть 
- бесконечно малая при 
.
