Устойчивость неподвижных точек

Рассмотрим методику определения устойчивости неподвижных точек отображения (14.2).

Если значение находится в окрестности неподвижной точки справедливо равенство:

(14.5)

где - малая величина. Если точка устойчива, то с ростом номера последовательности n величина должна уменьшаться. Запишем соотношение (14.2) с учётом (14.5) и разложим правую часть в ряд Тейлора:

Последнее приближённое равенство выполняется тем точнее, чем меньше С учётом (14.3) получим:

Следовательно, для того чтобы должно выполняться неравенство:

(14.6)

Это и есть условие устойчивости неподвижных точек отображения (14.2).

Определим, при каких значениях параметра l будут устойчивы неподвижные точки (14.4). Производная от функции f (x) отображения (14.2) равна:

Для неподвижной точки имеем:

Следовательно, точка действительно устойчива при l < 1.

Для неподвижной точки получаем:

Следовательно, точка будет устойчива для значений параметра

При l > 3 неподвижная точка теряет устойчивость.